Probar que una asíntota horizontal nunca puede ser cruzada.

Question

Esto es mucho más simple de un problema que otros publican aquí, pero me aburría en clase y decidió averiguar por qué una asíntota horizontal existe. Tenga en cuenta que estoy siendo bastante bajo en la "caja de escalera."

Así que para lograr esto he trabajado fuera de un ejemplo de ecuación que se podría hacer en un caso general, más tarde, con el elegido ser $$y = \frac{2x+6}{x+1}$$ Ahora, probando cualquier asíntota vertical es simple (por definición, se crea una "división por cero" error al conectarse a la ecuación), pero una asíntota horizontal de la "prueba" requiere de algún tipo de manipulación. Así que, haciendo un poco de ruido de la ecuación para aislar las variables ligeramente... $$y = \frac{x(2+\frac{6}{x})}{x(1+\frac{1}{x})}$$ El $x$ sobre la parte superior y la parte inferior de la función se cancela, y nos quedamos con $$y = \frac{2+\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x}}$$ Con un poco más de reorganización mediante la multiplicación de la función por el denominador, se obtiene $$y\left(1+\frac{1}{x}\right) = 2+\frac{6}{x}$$ Es probable que usted vea lo que está mal con esto, pero vamos a distribuir el $y$ a simplificar aún más: $$y+\frac{y}{x} = 2+\frac{6}{x}$$ Ahora todo está listo para conectar. Decir que hay un valor que corresponde a $y = 2$ (la asíntota horizontal de la gráfica, para encontrar dividiendo $p$ por $q$o $2/1$, debido a $\operatorname{deg} p = \operatorname{deg} q$). A continuación, la ecuación debe ser capaz de ser utilizado para encontrar este valor. Sin embargo, si $2$ es sustituido por $y$... $$2+\frac{2}{x} = 2+\frac{6}{x}$$ $$\frac{2}{x} = \frac{6}{x}$$ $$2 = 6$$ Por lo tanto, $y$ no puede ser igual a $2$. Creo que se refiere como una "prueba por contradicción" pero me corrija si estoy equivocado. O si la totalidad de la prueba que está mal, de hecho. De todos modos, me gustaría generalizar esto, pero me estoy pegando un obstáculo debido a no saber de una integral de la forma estándar para todas las expresiones racionales. Yo lo he probado en numerosas ecuaciones, pero no estoy seguro de cómo explicar lo que creo que está pasando. Cada vez que conecte la asíntota en el rehabilitado ecuación, usted termina con una contradicción, y cualquier otro número (sin agujeros) devuelve un valor que puede ser encontrado en el gráfico.

Alguien puede ayudar con esto? Me sentía como compartir esta pequeña de 10 minutos porque me intrigó, pero ser capaz de generalizar a ver lo que está pasando entre cada variable y el coeficiente (específicamente, cómo y por qué los principales términos y grados que afectan a la H. A) sería de gran ayuda para la comprensión global del tema. Gracias!

Answer 1

Usted, de hecho, demostró que su función nunca cruza la asíntota $y=2$. Específicamente, se demostró siguiente declaración

No existe $x\in \mathbb{R}$ tales que $$ \frac{2x+6}{x+1} = 2. $$

Para ello, se utiliza una "prueba por contradicción". Si existe un número $x$ tales que $$ \frac{2x+6}{x+1} = 2. $$ entonces $$ 2x+6 = 2(x+1)\implica 6=2 $$ lo cual es absurdo.

Pero es lo que resultó suficiente para concluir que la función tiene una asíntota horizontal descrito por la línea de $y=2$? Echemos un vistazo a una función diferente; $$ y = \frac{x^2+1}{x^2}. $$ Para esta función, no existe un número $x$ tales que $$ \frac{x^2+1}{x^2} = 0. $$ Pero esto no significa que la asíntota horizontal es descrito por $y=0$. Su asíntota horizontal debe en lugar de por la línea de $y=1$.

Pregúntate lo siguiente: ¿cómo le hicieron acerca de la definición de una asíntota horizontal? Qué características crees que debe tener?

Generalmente, queremos una asíntota de alguna manera de capturar el comportamiento de la función en $x$ se hace muy grande. Si desea obtener más información sobre cómo hacer esta declaración precisa, hágamelo saber en los comentarios y puedo añadir detalle.

Answer 2

Atengámonos a las funciones racionales, aunque no menciona explícitamente que esto es lo que usted desea utilizar. Así que queremos construir una función de $f(x)$, que tiene alguna asíntota en $\pm\infty$ y que la cruz esta asíntota. Cómo sería inminente esto? En primer lugar, tenga en cuenta que podemos elegir $f(\pm\infty)=0$. Si desea otra asíntota, sólo tiene que añadir una constante.

Así que escribir $$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$ where $P$ and $P$ are polynomials. If the degree of $P$ is greater than the degree of $P$, this asymptotically will go to $0$. For simplicity, just choose $Q(x)=x^n$. Now if we choose $n-1$ different real, non-zero numbers $x_1, x_2,...,x_{n-1}$, we can construct $P(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n-1)$, a polynomial with degree $n-1$, with $n-1$ real, non-zero roots. With these choices, $f(x)$ defined above has a horizontal asymptote, and the function is crossing the horizontal line at $n-1$ puntos diferentes.