Respuesta a la Primera Pregunta
Bueno, como se sugiere por Moishe Kohan comentario, el argumento por Lee Mosher en este MathOverflow post es suficiente para responder a la primera pregunta. Se basa en un par de grandes teoremas en geometría topología.
Para $r>0$, vamos a $B^n(r)$ ser cerrado el balón en $\mathbb{R}^n$ centrada en el origen con radio de $r$, y deje $S^{n-1}(r)$ ser su límite de la esfera. También, vamos a
$$
B^n = B^n(1)
\qquad\text{y}\qquad
S^{n-1}=S^{n-1}(1).
$$
Con cuello de Bolas y Esferas Bicollared
Recordar las siguientes definiciones:
- Un topológico $n$-ball $B\subset \mathbb{R}^n$ es de cuello , si existe un $\epsilon>0$ y una incrustación
$$
f\colon B^n(1+\epsilon) \to \mathbb{R}^n
$$
tal que $B=f(B^n)$.
- Un topológico $(n-1)$-esfera $S\subset \mathbb{R}^n$ es bicollared , si existe un $\epsilon > 0$ y una incrustación
$$
f\colon S^{n-1}\times [-\epsilon,\epsilon]\to\mathbb{R}^n
$$
tal que $f(S^{n-1}\times\{0\}) = S$.
(Nota: debido a que estamos haciendo de la topología, se podría utilizar $\epsilon=1$ en cada caso).
Por ejemplo, la cornuda de Alexander esfera no es bicollared, y de ello se sigue que la bola cerrada delimitada por la cornuda de Alexander ámbito no es el cuello. (De hecho, es fácil ver que un topológico $n$-ball en $\mathbb{R}^n$ es de cuello si y sólo si su límite de la esfera es bicollared.)
Algunos De Los Grandes Teoremas
A continuación, utilizamos dos grandes teoremas en geometría topología. La primera fue probada por Morton Brown (1960) y de forma independiente por Barry Mazur y Marston Morse (1960).
Generalizada Schoenflies Teorema.
Deje $S\subset\mathbb{R}^n$ ser un topológico $(n-1)$-esfera. Si $S$ es bicollared, entonces existe un homeomorphism $h\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ tal que $h(S)=S^{n-1}$.
Desde el límite de un cuello de bola es siempre un bicollared esfera, se sigue que cada torquatus $n$-bola puede ser asignada a $B^n$ por un homeomorphism de $\mathbb{R}^n$.
A continuación tenemos el siguiente teorema. De acuerdo a otro MathOverflow post, esto puede ser comprobada mediante el Estable Homeomorphism Conjetura (ahora un teorema), lo que fue demostrado por Robion Kirby en 1969 para todos los $n\ne 4$ y por Frank Quinn, en 1982, para $n=4$.
Isotopía Teorema para las Esferas.
Para $n\geq 1$, cada orientación de la preservación de homeomorphism de $S^n$ es isotópico a la identidad.
Este teorema tiene dos importantes consecuencias:
Desde siempre podemos organizar para una isotopía para fijar un punto, se sigue que cada orientación de la preservación de homeomorphism de $\mathbb{R}^n$ es isotópico a la identidad.
También, se puede combinar este teorema con el Alexander truco para deducir que cada orientación de la preservación de homeomorphism de $B^n$ es isotópico a la identidad.
Conclusiones
La combinación de todo esto en conjunto nos da el siguiente teorema:
Teorema.
Cada orientación de la preservación de la incrustación $f\colon S^{n-1}\to\mathbb{R}^n$ cuya imagen es bicollared es isotópico a la inclusión del mapa.
Cada orientación de la preservación de la incrustación $f\colon B^n\to\mathbb{R}^n$ cuya imagen es de cuello es isotópico a la inclusión del mapa.
En ambos casos la prueba es utilizar primero el Schoenflies teorema para encontrar un homeomorphism $h\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ tal que $(h\circ f)(S^{n-1})=S^{n-1}$ o $(h\circ f)(B^n)=B^n$. Componer con una reflexión, si es necesario, podemos asumir que $h$ es de la orientación de la preservación. Por la isotopía teorema, $h$ es isotópico a la identidad, lo que significa que $h\circ f$ es isotópico a $f$. Pero $h\circ f$ mapas de $S^{n-1}$ o $B^n$ a sí mismo por algunos de la orientación de la preservación de homeomorphism, y por lo tanto es isotópico a la identidad por la isotopía teorema.
Todo lo que queda de la primera pregunta es la siguiente observación:
De la observación.
Cada incrustación $B^n\to \mathbb{R}^n$ es isotópico a una incrustación cuya imagen es de cuello.
Para ver esto, vamos a $f\colon B^n\to\mathbb{R}^n$ ser una incrustación, y definir una incrustación $g\colon B^n\to\mathbb{R}^n$por
$$
g(p) = f(p/2).
$$
A continuación, $f$ es isotópico a $g$ través $(p,t)\mapsto f\bigl((1-t/2)p)$, e $g(B^n)$ es de cuello por la incrustación de $S^{n-1}\times [-1/4,1/4] \to \mathbb{R}^n$ definido por
$(p,\delta) \mapsto f\bigl((\tfrac{1}{2}+\delta)p)$.
Esto no contesta a la segunda pregunta, pero sí reduce a la siguiente forma:
Pregunta.
Es cada incrustación $S^{n-1}\to\mathbb{R}^n$ isotópicas para una incrustación cuya imagen es bicollared?
Si la respuesta es sí, entonces todos los de la orientación de la preservación de la incrustación $S^{n-1}\to \mathbb{R}^n$ es isotópico a la inclusión, por los argumentos dados anteriormente. Alternativamente, sería suficiente para responder a la siguiente pregunta:
Pregunta.
Es cada incrustación $S^{n-1}\to\mathbb{R}^n$ isotópicas para una incrustación cuya imagen límites de una pelota?
