simplicidad del grupo Janko$J_1$

Question

En el papel, Janko muestra la simplicidad de Janko grupo $J_1$ en el Lema 2.1. En esta prueba se dice "Por una transferencia teorema de todas las involuciones son conjugado en $G$", pero no puedo entender.

1. Algunas proposiciones se denomina "transferencia teorema", como Burnside de transferencia del teorema, Thompson transferencia teorema, etc... . Quiero que sepan que la proposición se utiliza.
2. He encontrado una descripción Adicional para la prueba, pero esta parte de la prueba no es correcta (porque el autor utiliza el resultado de la Janko del papel, y el original de la prueba no utiliza ningún tipo de cálculos específicos). Quiero saber enfoque teórico del problema.

Answer 1

El grupo en cuestión es sencilla y tiene primaria abelian Sylow 2-subgrupos de orden 8.

Un hecho crucial que usted necesita saber es que, si el grupo finito $G$ tiene un abelian Sylow $p$-subgrupo $P$, a continuación, $p$-transferencia es controlado por $N_G(P)$ - ver aquí por ejemplo.

Esto significa que el mayor $2$-cociente de $G$ (que es trivial, por supuesto) es isomorfo a la mayor de las $2$-cociente de $N_G(P)$.

Ahora $N_G(P)/C_G(P) \le {\rm Aut}(P) \cong {\rm GL}(3,2)$. Si $|N_G(P)/C_G(P)|$ es divisible por $7$, entonces el involuciones en $P$ son todos conjugado en virtud de un elemento de orden $7$. Eso es lo que estamos tratando de probar.

Ahora $|{\rm GL}(3,2)| = 8 \times 3 \times 7$, e $|N_G(P)/C_G(P)|$ es impar, por lo que la única otras opciones son $|N_G(P)/C_G(P)| = 1$ o $3$. En ambos casos, la acción es reducible con al menos un elemento de orden $2$ centralizex por $N_G(P)$, y, a continuación, $N_G(P)$ tiene un cociente grupo de orden $2$. Por lo tanto lo hace $G$, contradiciendo la suposición.