Cuándo usar Forzado Iterado

Question

El forzado iterado es útil para separar las características cardinales y para probar la consistencia del axioma de Martin. Mi pregunta es: ¿de qué se tratan estos problemas para determinar que una prueba de forzamiento normal no funciona y que necesitamos varios forzamientos?

¿Qué pasa con un resultado de consistencia que determina que debe probarse mediante forzamiento iterado en lugar de forzar ordinario?

Answer 1

No hay criterios que requiere ser satisfecho para el uso reiterado de forzar. No sólo eso, sino que desde la iteración obligando a es el mismo que tomar una sola forzando la extensión (el uso de la iteración poset), la pregunta que tipo de se cae en sí mismo.

Peor aún, con la excepción de una cierta clase de "mínimos" extensión genérica, la mayoría (en algún sentido) obligando a las nociones son, de hecho, una iteración, ya que se puede descomponer para la iteración de uno o más subforcings. Por ejemplo, la adición de un Cohen real puede ser pensado como la adición de dos Cohen reales, uno tras otro. Y el colapso de $\omega_1$ puede ser pensado como primera adición de un Cohen real, entonces la adición de una rama en el árbol de Suslin añadido por la que Cohen real, y luego el colapso $\omega_1$.

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Entonces, ¿por qué incluso el uso reiterado de forzar?

Porque es conveniente. Porque es más fácil romper un gran problema en problemas más pequeños y, a continuación, tratar con ellos, uno a la vez. Al forzar el Axioma de Martin, por ejemplo, es más fácil lidiar con el hecho de forzar a las nociones de a un paso por vez, en lugar de intentar de alguna manera captar la totalidad de las existentes y de los que habría de venir, simultáneamente.

Incluso peor. El enfoque iterativo de Martin Axioma es pura magia. Cada paso del límite añade Cohen reales. Cada Cohen real agrega un árbol de Suslin. Martin Axioma implica que no hay Suslin árboles.

¿Cómo es posible? Bien. Debido a la naturaleza de la iteración, a cada paso nos anticipamos a "un problema", y se la resolvemos.

Otras veces se desee construir un objeto a través de forzar, pero nuestro modelo inicial requeriría tener ciertos objetos que no se garantiza que existe. O tal vez la construcción requeriría un cierto grado de genericity sobre el modelo, por lo que primero añadiendo algo nuevo a trabajar es una buena cosa. En los enfoques de empezar con $V$, la extendemos una vez con una preparación (que a su vez puede o no puede ser una iteración, por ejemplo, el Axioma de Martin o indestructibilidad de los grandes cardenales) y, a continuación, realice una o dos extensiones para obtener un modelo final.

Sí, se puede describir toda la cosa como una sola obligando a poset. Pero, ¿por qué? Que no ofrecen un mejor resultado, y sólo aumentará las dificultades cuando se trata de describir los objetos o la razón de por qué tienen esta o aquella propiedad.

Por esta razón, es exactamente lo que a veces es conveniente pensar en una Cohen real como un subconjunto de a$\omega$, a veces como una secuencia binaria en $2^\omega$, y a veces como una secuencia general en $\omega^\omega$. Pero a veces es más fácil pensar en una sola Cohen real como un número infinito de diferentes Cohen reales en lugar de eso, exactamente por esa razón.

Answer 2

Tal vez yo pueda agregar un ejemplo natural de Asaf la gran respuesta. En el caso de establecimiento de Borel de la conjetura, reiteró obligando naturalmente viene en la construcción. Borel de la conjetura afirma que todos los grandes conjuntos de medida cero de reales son contables (no es importante lo que eso significa). Resulta que esta declaración es independiente de ZFC. No es demasiado duro para construir un contraejemplo para que el uso de CH. Para mostrar que BC es consistente, usted necesita forzar. Pero, ¿cómo la fuerza de BC? Richard Lavamanos encontrado un poset (que ahora se llama Lavamanos obligando a) que es fácil de describir y que tiene la siguiente propiedad: Si $V[g]$ es una extensión genérica de $V$ a través de Lavamanos y obligando a $A\in V$ es un conjunto de reales, que es fuerte medida cero en $V[g]$, a continuación, $A$ es contable (en $V$ e $V[g]$). (Tenga en cuenta que la evaluación de la declaración de "$A$ es fuerte medida cero" puede cambiar de $V$ a $V[g]$). Ahora que usted ha hecho algunos avances, no hay "viejos" contraejemplos a BC más. Pero es posible que todavía haya nuevos contraejemplos! Ahora está claro que uno debe tratar de repetir este proceso para hacer el nuevo contraejemplos se desvanecen en el límite. Esto resulta de trabajo, sin embargo no es suficiente para recorrer este sólo $\omega$ o $\omega_1$-muchas veces, es importante hacerlo de $\omega_2$-muchas veces (de lo contrario CH posible que todavía se mantienen en la extensión). Además uno tiene que elegir el soporte correctamente, en este caso es contable apoyo por razones técnicas.