Lanza una moneda justa varias veces.

Question

Lanza una moneda justa, un número de veces. Siempre se apuesta por la cara y se gana un dólar si sale cara y pierdes un dólar si sale cruz. Te detienes cuando ganas 3 dólares o pierdes 2 dólares. Entonces, ¿cuál de las siguientes es la correcta?

1. acabas ganando con $2\over 3$ probabilidad
2. acabas ganando con $1\over 3$ probabilidad
3. acabas ganando con $3\over 4$ probabilidad
4. acabas ganando con $3\over 5$ probabilidad
5. Ninguna de las anteriores es correcta.

Si no sabemos el número de pruebas, ¿cómo podemos hacerlo?

Answer 1

Para mayor elegancia, hay que tener en cuenta que podemos partir de $2$ dólares en lugar de nada, y gana si llega a $5$ dólares y perder si se llega a $0$ dólares.

Dejemos que $p_n$ es la probabilidad de que ganes si empiezas con $n$ dólares.

Entonces $p_0 = 0$ y $p_5 = 1$ .

También $p_n = \frac{1}{2} p_{n-1} + \frac{1}{2} p_{n+1}$ para cualquier número entero $n$ (estrictamente) entre $0$ y $5$ .

Así, $p_{n+1}-p_n = p_n-p_{n-1}$ para cualquier número entero $n$ (estrictamente) entre $0$ y $5$ .

Así, $p_5-p_0 = 5 ( p_1-p_0 )$ y por lo tanto $p_1-p_0 = \frac{1}{5}$ .

Así, $p_n = \frac{n}{5}$ para cualquier número entero $n$ de $0$ a $5$ .

Answer 2

Supongo que dejas de hacerlo cuando tu ganancia neta es de +3 o -2.

Por término medio, no se gana ni se pierde dinero en una sola tirada. Así que su ganancia media en todo el juego debe ser $0$ también. (Realmente no sé cómo probarlo estrictamente, pero si sólo necesitas dar la respuesta en un examen, esta consideración es suficiente).

Si ganas con probabilidad $p$ y perder con probabilidad $1-p$ entonces su ganancia media es $3p-2(1-p)$ . Así que tienes $3p-2(1-p) = 0$ lo que significa que $p = \frac25$ .

Answer 3

(Editar: Había una serie de errores (que atribuyo a la falta de sueño). @imj tiene razón en que no estaba calculando las probabilidades condicionales. He arreglado eso (probablemente con sólo uno o dos errores). Estos errores llevaron a la dificultad de @Newb para obtener los resultados (incorrectamente) reclamados).

Obsérvese que podemos seguir nuestro progreso a través de los lanzamientos mediante potencias de $x + x^{-1}$ . Por ejemplo, después de un lanzamiento, tenemos la misma probabilidad de haber ganado o perdido un dólar. Los coeficientes llevan la cuenta de cuántos caminos (desde el estado inicial) tienen las distintas ganancias/perdidas hasta el momento. No olvides eliminar los términos correspondientes a los procesos terminados.

• dos lanzamientos: $(x + x^{-1})^2 = x^2 + 2 + x^{-2}$ : 1 perdedor en 4 salidas:
  • $1/4$ del tiempo, terminan aquí, perdiendo \$2.
  • $3/4$ del tiempo continuamos.
• tres lanzamientos: $(x^2 + 2)(x+x^{-1}) = x^3 + 3x + 2x^{-1}$ : 1 ganador en 6 continuaciones
  • $1/6 \cdot 3/4 = 1/8$ del tiempo, terminan aquí, ganando \$3.
  • $5/6 \cdot 3/4 = 5/8$ del tiempo que continuamos.
• cuatro lanzamientos: $\dots = 3x^2 + 5 + 2/x^2$ 2 perdedores en 10 continuaciones
  • $2/10 \cdot 5/8 = 1/8$ del tiempo, terminan aquí, perdiendo \$2.
  • $8/10 \cdot 5/8 = 1/2$ del tiempo que continuamos.
• cinco lanzamientos: $\dots = 3 x^3 + 8x + 5/x$ : 3 ganadores en 16 continuaciones
  • $3/16 \cdot 1/2 = 3/32$ del tiempo, terminan aquí, ganando \$3.
  • $13/16 \cdot 1/2 = 13/32$ del tiempo que continuamos.
• ...

En este punto, ya sabemos que nuestra probabilidad de ganar es $\geq 1/8 + 3/32 = 7/32 > 1/5$ y de perder $\geq 1/4 + 1/8 = 3/8 > 1/5$

Observa los números de Fibonacci en los coeficientes. Establece dos sumas, una para ganar y otra para perder. Hecho.

Answer 4

Opción 5: ninguna de las anteriores. Por supuesto, podemos excluir la 1, la 3 y la 4 porque, de lo contrario, los juegos de azar funcionarían más a menudo de lo que fallan, pero para excluir la 2 debemos obtener el valor real.

A partir de $0$ sus probabilidades de terminar (después de cualquier número de tiradas) en $+2$ o $-2$ están igualados.

Si es $-2$ Entonces pierdes $= 0.5$ posibilidad de perder hasta ahora, y el juego termina por lo que podemos ignorar esta rama a partir de ahora.

Si estás en $+2$ entonces sus probabilidades de terminar en $+3/+1$ (después de cualquier número de tiradas) son pares.

Si es $+3$ , tú ganas $= 0.5*0.5 = 0.25$ posibilidad de ganar hasta ahora.

Si $+1$ , entonces las probabilidades de $+3/-1$ son pares. Si $+3$ , tú ganas $= 0.25 + (0.5*0.5*0.5) = 0.375$ posibilidad de ganar hasta ahora.

Si $-1$ , las probabilidades de $-2/0$ son pares. Si $-2$ , pierdes $= 0.5 + (0.5*0.5*0.5*0.5) = 0.5625$ posibilidad de perder hasta ahora.

Si $0$ entonces volvemos a tener cero dólares.

Así que tenemos una:

• $0.5625$ posibilidad de perder;
• $0.375$ posibilidad de ganar;
• $0.625$ posibilidad de tener que "rodar de nuevo", que siempre se dividirá en las mismas proporciones.

Por lo tanto, la proporción de victorias:pérdidas es $0.5625:0.375$ .

Pierde: $0.5625/(0.5625+0.375) = 0.6$

Gana: $0.375/(0.5625+0.375) = 0.4$

Soy un novato en matemáticas (lo que probablemente se note), pero las probabilidades de ganar siendo $2/5$ y de perder el ser $3/5$ se siente intuitivamente bien, también.

Answer 5

La probabilidad de ganar parece ser $\dfrac25$ como este cálculo muestra

Hay 6 estados (de $-2$ a $+3$ ). La matriz cuadrada muestra la probabilidad de pasar de un estado a otro con el lanzamiento de una moneda.

El vector $\left(\begin{array}{c} 0\\0\\1\\0\\0\\0\end{array}\right)$ es el estado inicial (empezamos con $0$ ganancia)

el límite como $n\to +\infty$ del resultado es $\left(\begin{array}{c} \frac35\\0\\0\\0\\0\\\frac25\end{array}\right)$ por lo tanto, con el lanzamiento infinito de la moneda estamos en el estado ganador $40\%$ del tiempo.

Tiene que haber una forma mejor y más dura.