He elaborado el razonamiento, pero ¿cómo escribo la prueba?

Question

Esto comenzó con un problema bastante trivial que fue:

Rellena los espacios en blanco con números enteros para hacer afirmaciones matemáticamente verdaderas. No utilices el mismo número dos veces dentro de un enunciado. $$\frac{*}4+\frac{1}*=\frac{*}{20}$$

Ahora las soluciones eran bastante fáciles, así que decidí cambiar el problema y me pregunté qué soluciones se podían hacer cuando debo usar un número dos veces. Las soluciones eran fáciles para este formato $$\frac{a}4+\frac{1}a=\frac{b}{20}$$ donde $a\ne b$ . ¿Pero hay alguna solución para el siguiente formato? $$\frac{b}4+\frac{1}a=\frac{a}{20}$$

Para determinar si había alguna, primero reordené la ecuación en forma cuadrática, es decir $$0=a^2-5ba+20$$ que da soluciones si $$a=\frac{5b\pm\sqrt{25b^2-80}}2$$ Ahora bien, esto sólo puede satisfacer la condición de "números enteros" si $\sqrt{25b^2-80}$ es un número entero. (Incluso entonces hay más cosas que deben satisfacerse, por lo que esta es una condición mínima). En este punto, no sabía cómo demostrar esto formalmente, así que decidí usar Excel para determinar ${25b^2-80}$ para diferentes valores de b, y luego utilizar la función vlookup para encontrar el cuadrado más cercano, $n^2$ por debajo de ese valor. Luego resté estos dos valores porque pensé que estaba buscando cualquier caso en el que $$\delta=25b^2-80-n^2\equiv0$$ Ahora no encontré ninguna, sin embargo, encontré un patrón inesperado para la diferencia, $\delta$ dado b=2, 3, ...

El valor de $$\delta = (4, 1, 31, 16, 36, 56, 76, 9, 19, 29, 39, ...)$$ Es decir, para $b>8$ , $$\delta =10(b-8)+9$$

Por lo tanto, tengo dos preguntas. ¿Por qué surgió este patrón para $\delta$ ? ¿Y cómo se escribe formalmente este razonamiento, que sí demuestra que ningún valor de " $a$ "¿existe un número entero?

Answer 1

Tenga en cuenta que $${b\over 4}+{1\over a}={a\over 20}\implies a^2=5ab+20\implies a|20 , 5|a$$ por lo que todos los casos posibles son $$a\in \{-20,-10,-5,5,10,20\}$$ mediante una simple investigación, concluimos no hay números enteros $a,b$ tal que $${b\over 4}+{1\over a}={a\over 20}$$

P.D.

En general, todas las respuestas a la ecuación $${a\over 4}+{1\over b}={c\over 20}$$ son los siguientes $$(a,b,c)=\left(a,b,5a+{20\over b}\right)$$ con cualquier $a\in \Bbb Z$ y $b|20$ .

Answer 2

Así que lo has hecho, $$ \frac{b}{4} + \frac{1}{a} = \frac{a}{20} $$

Esto te da, $$ a^2 - 5ab - 20 = 0 $$

para $a$ y $b$ en $\mathbb{W}$ .

Usted está expresando $a$ en términos de $b$ como, $$ a = \frac{5b \pm \sqrt{25b^2+80}}{2} $$

Ya que quieres demostrar/desmentir que $a$ y $b$ existen comprobando si el discriminante es entero. Es decir, $$ \sqrt{25b^2+80} = n $$ donde $n \in \mathbb{W}$ . O, $$ b = \frac{\sqrt{n^2 - 80}}{5} $$

Ahora bien, si tuviéramos que comprobarlo caso por caso, es imposible ya que todo lo que sabemos es que $n \geq 9$ (para que sea real).

Sin embargo, puede haber otras formas de demostrar la presencia/ausencia de $a$ y $b$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $\sqrt{25b^2 - 80 }$ es un número entero si y sólo si $25b^2 - 80$ es un cuadrado. Esto da la ecuación $$ 25b^2 - 80 = a^2 \implies a^2-25b^2 = 80 \implies a^2-(5b)^2 = 80$$ Esto se puede calcular como $$ (a-5b)(a+5b) = 80.$$ Utilizando la factorización de primos de $80 = 2^4 \cdot 5$ y que $a$ y $b$ son números enteros, esto da lugar a una serie de sistemas de ecuaciones de la forma $$ \begin{cases} a-5b = c_1 \\ a+5b = c_2 \end{cases} $$ donde $c_1$ y $c_2$ son números enteros tales que $c_1 c_2 = 80$ (hay $20$ tales sistemas: diez positivos y diez negativos).

Al resolverlos, la búsqueda se reducirá a un número finito de posibles soluciones para $a$ y $b$ que puede resolver manualmente.

Answer 4

Ya tienes varias opciones para la prueba, así que me centraré en el patrón de valores de $\delta.$ Creo que esto es más fácil de razonar si escribimos la expresión bajo el radical como $(5b)^2 - 80.$ Para que el radical sea un número entero, entonces, necesitaríamos que la diferencia entre dos cuadrados fuera $80,$ donde uno de los cuadrados es un cuadrado de un múltiplo de $5.$

Para valores pequeños de $b$ puede haber una o más casillas estrictamente entre $(5b)^2 - 80$ y $(5b)^2,$ así que $\delta$ termina siendo la diferencia entre $(5b)^2$ y $(5b - n)^2$ donde $n \geq 2.$ Pero

$$ (5b)^2 - (5b - 1)^2 = (5b)^2 - ((5b)^2 - 2(5b) + 1) = 10b - 1, $$

por lo que si $b \geq 9$ entonces la diferencia entre $(5b)^2$ y el siguiente cuadrado más pequeño es al menos $89,$ que es mayor que $80.$ Por lo tanto, no hay ningún cuadrado en los números de $(5b)^2 - 80$ a $(5b)^2$ (que no sea $(5b)^2$ mismo), por lo que $\delta$ es sólo la diferencia entre $(5b)^2 - 80$ y el siguiente cuadrado más pequeño, que es $(5b - 1)^2$ :

\begin{align} \delta &= ((5b)^2 - 80) - (5b - 1)^2 \\ &= (10b - 1) - 80 \\ &= 10(b - 8) - 1\\ &= 10(b - 9) + 9. \end{align}

(Tenga en cuenta que esto es ligeramente diferente de la fórmula escrita en la pregunta).

Por cierto, ya que al hacer esto descubrimos que no hay ningún cuadrado en los números de $(5b)^2 - 80$ a $(5b)^2 - 1$ cuando $b \geq 9,$ un corolario es que $(5b)^2 - 80$ no es un cuadrado, así que después de comprobar cada caso en el que $b < 9$ individualmente, ha demostrado que $(5b)^2 - 80$ no puede ser un cuadrado.