¿Cuándo es una función de clase el carácter de una representación?

Question

Las representaciones de un grupo finito pueden ser comprendidas mediante sus caracteres irreducibles. Una función de clase es una función del grupo a los números complejos que es constante en las clases de conjugación.

Sé que cualquier combinación lineal de los caracteres irreducibles es el carácter de alguna representación. También sé que no todas las funciones de clase son caracteres de una representación.

Vamos a decir que yo no conozco todos los caracteres irreducibles de un grupo, pero me encuentro con una función de clase cuyo producto interno consigo mismo es 1. Mi pregunta es: ¿Cómo sé si esta función es realmente el carácter de una representación irreducible?

Más generalmente: ¿Cómo sé si una función de clase dada es el carácter de alguna representación de un grupo sin conocer todas las representaciones irreducibles?

EDIT: Veo esta pregunta con respuestas: Función de clase como un carácter. Esto casi responde mi pregunta. Para aclarar lo que específicamente me interesa saber, si he encontrado algunas representaciones irreducibles de un grupo $G$. Digamos que tengo $\chi_1, \dots, \chi_m$. Sé que no las he encontrado todas porque conozco el número de clases de conjugación. Luego, digamos, tengo otro carácter no irreducible $\chi$ y sé, digamos, que este es el carácter de alguna representación. Luego resto una combinación lineal de $\chi_1, \dots, \chi_m$, y defino la función de clase $\psi = \chi - (a_1\chi_1 + \dots + a_m\chi_m)$. ¿Cómo sé si esta $\psi$ es el carácter de alguna representación?

Answer 1

Para aclarar lo que me interesa específicamente saber, si he encontrado algunas representaciones irreducibles de un grupo $G$. Digamos que tengo $\chi_1, \dots, \chi_m$. Sé que no he encontrado todas porque conozco el número de clases de conjugación. Luego, digamos, tengo algún otro carácter no irreducible $\chi$ y sé, digamos, que este es el carácter de alguna representación. Luego resto una combinación lineal de $\chi_1, \dots, \chi_m$, y defino la función de clase $\psi = \chi - (a_1\chi_1 + \dots + a_m\chi_m)$. ¿Cómo sé si este $\psi$ es el carácter de alguna representación?

Esta pregunta es mucho más fácil que tu pregunta general; suponiendo que los $a_i$ son enteros no negativos, la respuesta es si y solo si $\langle \chi, \chi_i \rangle \ge a_i$ para todo $i$. Esto se sigue de:

Lema: Una función de clase $\chi$ es el carácter de una representación si y solo si para cada carácter irreducible $\chi_i$, $\langle \chi, \chi_i \rangle$ es un entero no negativo.

Prueba. Si $\chi$ es el carácter de una representación $V$ entonces $\langle \chi, \chi_i \rangle$ es la multiplicidad de la representación irreducible $V_i$ correspondiente a $\chi_i$ en $V$, por lo que esta condición es claramente necesaria. Por otro lado, si esta condición se cumple, entonces $\chi = \sum \langle \chi, \chi_i \rangle \chi_i$, y por lo tanto la suma directa de $\langle \chi, \chi_i \rangle$ copias de $V_i$ es una representación con carácter $\chi$. $\Box$

Si configuras $a_i = \langle \chi, \chi_i \rangle$ entonces has eliminado los componentes de la representación correspondientes a $\chi$ que corresponden a las irreducibles con carácter $\chi_i$. Entonces todo lo que te queda son los componentes correspondientes a las irreducibles que aún no has encontrado.

Answer 2

Hay otro ángulo en esto. Como explicó tan bien @Qiaochu Yuan, si uno conoce los caracteres irreducibles $\chi$ del grupo finito $G$, entonces para alguna función de clase $\varphi$ necesitas calcular todos los productos internos $[\varphi,\chi]$ con estos irreducibles y verificar si todas las multiplicidades son enteros no negativos.

Una situación diferente es que uno tiene información sobre un conjunto de subgrupos $\mathcal{H}$, en el sentido de que $\varphi_H$ es de hecho un carácter para todos los subgrupos $H \in \mathcal{H}$. Existe un resultado antiguo y célebre de Richard Brauer (a veces referido como caracterización de caracteres) que muestra que ciertos conjuntos de subgrupos $\mathcal{H}$ garantizarán que $\varphi$ sea un carácter de $G$. Esto funciona, por ejemplo, si $\mathcal{H}=\{\text{todos los subgrupos nilpotentes de $G$}\}$. Sin embargo, este "conjunto de prueba" se puede reducir a lo que se llama subgrupos $p$-elementales: un grupo $p$-elemental es un producto directo de un grupo $p$ y un grupo cíclico $p'$.