Suma de enteros + constante, ¿es un grupo?

Question

Suponemos que definir un operador $$a\circ b = a+b+k, \\\forall a,b\in \mathbb Z$$

Podemos demostrar que juntos, con un rango de $a,b$ es un grupo, para todas las $k\in \mathbb Z$?

Lo he intentado, y se encontró que cumple con todos los del grupo de axiomas, pero podría haber cometido un error?

Si es un grupo, ¿tiene un nombre?

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Mis observaciones:

• El cierre es obvio que la suma de enteros es cerrado.

• Identidad Si tomamos $e=-k$, a continuación, $a\circ e = a+k-k=a$

Verificación de $e\circ a = -k\circ a = -k+a+k=a$, según se requiera.

• Inversa sería $a^{-1} = -a-2k$, que es único.

La verificación de la inversa de la $a\circ a^{-1} = a + (-a-2k)+k = -k = e$, según se requiera.

• La asociatividad $(a\circ b) \circ c = (a + (b+k)) + (c + k)$.

Vemos todo lo que conlleva es, además, que es asociativa, por lo que podemos eliminar los paréntesis y cambiar el orden de como se desee.

Answer 1

Es el grupo que obtiene cuando transfiere la acción de $(\mathbb Z,+)$ a $(\mathbb Z, \circ)$ a través del mapa $\phi(z)= z-k$ .

Puede verificar que $\phi(a+b)=\phi(a)\circ\phi(b)$ para que se convierta en un isomorfismo grupal.

Answer 2

Sí, tus observaciones son correctas, esto es un grupo.

Además, este grupo es isomorfo al grupo cíclico infinito $C_\infty$ .

Para probar que puede ver, ese $\forall a \in \mathbb{Z}, a \circ (1-k) = (a+1)$ , lo que resulta en $\forall a \in \mathbb{Z}, a = (1 - k)^{\circ(a + k - 1)}$ .

Answer 3

Supongamos que definimos un operador $'$ como $a'=a-k$. A continuación, $a'∘b'=(a-k)+(b-k)+k=a+b-k$. Y $(a+b)'$ es también igual a $a+b-k$. Por lo $a'∘b'=(a+b)'$.

Y $a'$ es simplemente $a$ en un cambió de número de línea. Es decir, si usted toma un número de línea, y el tratamiento de $k$ como el origen, $a'$ es la distancia $a$ es de $k$. Supongamos que poner en marcha el cronómetro en el momento 00:15. Y supongamos que Un evento sucede a las 00:17, mientras que el evento B ocurre a las 00:18. Si usted acaba de agregar los tiempos de los dos eventos, se obtiene 00:35. Pero si se agrega la de veces en el cronómetro, se obtiene 00:02+00:03=00:05. $∘$ equivaldría a la suma de los tiempos en el cronómetro, con $k$=00:15.