Una serie relacionada con los números primos

Question

Sea $H(t) = \sum_{n=1} ^{\infty} \pi(n)t^n$ donde $\pi(n)$ es la función de conteo de números primos. Esta es la serie de Hilbert de algún espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. Según el teorema de los números primos, el radio de convergencia es $1$. Observando que $\pi(n) = \pi(n-1)+1$ si $n$ es primo y $\pi(n) = \pi(n-1)$ si $n$ es compuesto, podríamos reescribir esto como $H(t) = f(t)/(1-t)$ donde $f(t) =\sum_{p \text{ primo }} t^p$. Definimos la secuencia $b_n$ para $n=-1,0,1,2,\cdots$ como $ f'(t)/f(t) = \sum_{n=-1} b_n t^n$. Luego podemos recuperar los primos a partir de esta secuencia:

$$ p = 2 + \sum_{q

Por ejemplo:

Por ejemplo, los primeros coeficientes se dan en la serie:

$$2*t^{(-1)} + 1 + (-1)*t + 4*t^2 + (-5)*t^3 + 11*t^4 + (-16)*t^5 + 22*t^6 + (-37)*t^7 + 67*t^8 + (-101)*t^9 + 166*t^{10} + (-260)*t^{11} + 404*t^{12} + (-652)*t^{13} + \cdots $$

entonces $b_{-1} = 2, b_0 = 1, b_1 = -1 , b_2 = 4$ etc.

Por ejemplo, tenemos:

$$3 = 2+b_0 = 2+1$$

$$5 = 2+b_2+b_1 = 2+4-1$$

$$7 = 2+b_4+b_3+b_1 = 2+11-5-1$$Sea $a_{n,k}$ el número de formas ordenadas de escribir $n$ como una suma de $k$ primos. Luego, después de algún cálculo, se encuentra que:

$$a_{n,k} = \frac{k}{n-2k} \sum_{v=0}^{n-1} {a_{v,k} b_{n-1-v}}$$ que es una relación de recurrencia. Además, si $\alpha_n$ $n=0,1,2,3,\cdots$ son todas raíces de $f(t)$ que no son iguales a cero, entonces para $n\ge 0$: $$ b_n = - \sum_{k=0} ^ \infty \frac{1}{\alpha_k^{n+1}}$$

Los números $b_n$ podrían calcularse inductivamente usando:

$$ n a_{n,1} = \sum_{v=0}^n b_{v-1} a_{n-v,1}$$ de donde se ve que $b_n \in \mathbb{Z}$.

Una raíz real de $f(t)$ parece ser el número,

$$ \gamma = -0.62923 \cdots $$

(OEIS: http://oeis.org/A078756 )

Dado que todo lo relacionado con números primos tiene algo que ver con la función Zeta de Riemann, me pregunto, ¿cuál es la relación de lo anterior con la función Zeta de Riemann?

Si alguien conoce alguna referencia o tiene alguna idea, sería genial.

¿Hay, por ejemplo, una forma de calcular la raíz real $\gamma$? ¿Cuál es la relación de $\gamma$ con las otras raíces complejas? ¿Qué otras propiedades tienen los números $b_n$? etc.

Gracias por tu ayuda.

Editar: Encontré una forma conjetural de calcular $\gamma$ y usando el Producto de Euler un enlace a la función Zeta de Riemann:

$$\zeta(s) = \prod_{p} {\frac{1}{1-(2+\sum_{q

y para $\gamma$ las coincidencias numéricas sugieren que:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{b_{n+1}} = \gamma = -0.629233\cdots$$

lo cual podría ser una forma de definir $\gamma$. Luego uno tiene que demostrar que este límite existe y que $f(\gamma) = 0$.

Si alguien tiene una idea en esta dirección, sería bueno.

Segundo edit: Aquí está el cálculo para la relación de recurrencia de $a_{n,k}$: Para $k\ge 1$ tenemos por un lado: $$\log(f(t)^k)' = \frac{k f(t)^{k-1} f'(t)}{f(t)^k} = k \frac{f'(t)}{f(t)} = \sum_{n=-1}^\infty k b_n t^n$$

Por otro lado, es $$f(t)^k = \sum_{n=0}^\infty a_{n,k}t^n$$ lo que significa que $$\log(f(t)^k)' = \frac{\sum_{n=0}^\infty n a_{n,k} t^{n-1}}{\sum_{n=0}^\infty a_{n,k} t^{n}}$$

Por lo tanto, se sigue que (multiplicando por el denominador): $$\sum_{n=0}^\infty n a_{n,k} t^{n-1} = k (\sum_{n=0}^\infty a_{n,k} t^{n}) (\sum_{n=0} b_{n-1}t^n) \frac{1}{t}$$

Después de multiplicar por $t$ y usando la fórmula del producto de Cauchy obtenemos:

$$\sum_{n=0}^{\infty} n a_{n,k} t^{n} = \sum_{n=0}^\infty k( \sum_{v=0}^n a_{v,k}b_{n-1-v})t^n$$

y comparando coeficientes encontramos que:

$$n a_{n,k} = k ( \sum_{v=0}^n a_{v,k} b_{n-1-v})$$

y con $b_{-1} = 2$ se deduce después de resolver esta ecuación para $a_{n,k}$ que:

$$ a_{n,k} = \frac{k}{n-2k} \sum_{v=0}^{n-1} a_{v,k} b_{n-1-v}$$

Especialmente para $k=1$ y $n=p$ primo encontramos que:

$$ p = 2+ \sum_{q

Answer 1

• En primer lugar, $f(t) = \sum_p t^p$ significa que $f'(t)/f(t) = \sum_n b_n t^n$ donde $b_n=0$ para $n < -1$ y $\sum_p b_{n-p} = \begin{cases} n \ si\ n+1\ es\ primo\\ 0\ en\ otro\ caso\end{cases}$.

  $f(e^{-x})$ es la transformada de Mellin inversa de $\Gamma(s)\sum_p p^{-s}$ mientras que cosas como $1/f(t), \log f(t), f'(t)/f(t)$ son bastante inaccesibles, de la misma manera que $\zeta(s)$ es accesible solo desde los enteros mientras que $1/\zeta(s),\log \zeta(s),\zeta'(s)/\zeta(s)$ necesitan los números primos.

• El número de formas ordenadas de escribir $n$ como una suma de $m$ números primos son los coeficientes de $f(t)^m$ y el número de formas ordenadas de escribir $n$ como una suma de números primos son los coeficientes de $\frac{1}{1-f(t)}-1 = \sum_{m=1}^\infty f(t)^m$.

  $\frac{1}{f(t)}=\frac{1}{t^2(1-(1-\frac{f(t)}{t^2}))}= t^{-2}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(\frac{f(t)}{t^2}-1)^m$ donde los coeficientes de $(\frac{f(t)}{t^2}-1)^m$ son el número de formas ordenadas de escribir $n+2m$ como una suma de $m$ números primos $\ge 3$. $\frac{1}{t^2-f(t)}=t^{-2}\sum_{m=0}^\infty (\frac{f(t)}{t^2}-1)^m$.

• Sea $g(x) = \sum_{p^k} e^{-p^k x} \log p$ la transformada de Mellin inversa de $\Gamma(s) \frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)}$. Tenemos la fórmula explícita $g(x) = \sum Res(\Gamma(s) \frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)} x^{-s}) = x^{-1}- \sum_\rho \Gamma(\rho) x^{-\rho}-\sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k \log(x))x^k$. Existe una fórmula explícita correspondiente para $f(t)$ pero será complicada porque $\Gamma(s)\sum_p p^{-s}$ tiene muchos puntos de ramificación y un borde natural $\Re(s)=0$.

• No sabemos nada sobre los ceros y valores particulares de $f(t)$ y dado que es analítica solo para $|t|<1$, entonces $f'(t)/f(t)$ no será igual a una suma sobre los ceros de $f$. La mayoría de lo que sabemos es la asíntota de $f(t)$ cuando $t \to 1$, los términos de error dependen de la Hipótesis de Riemann. Esto dará la asíntota de $\log f(t)$ y posiblemente para $f'(t)/f(t)$, cuando $t \to 1$

  Si $f(t)$ tiene un cero en $|t|<1$, sea $z_0$ uno con valor absoluto mínimo, asumamos que no hay otro cero en $|z_0|$, entonces $\frac{f'(t)}{f(t)}-\frac{1}{t-z_0}$ es analítica para $|t|\le |z_0|+\epsilon$ de modo que $b_n = z_0^{-n}+O(|z_0|+\epsilon)^{-n}$ y $\lim_{n \to \infty} b_n/b_{n+1} = z_0$. Con una aproximación numérica se puede mostrar que tal $z_0$ existe, en cuyo caso $z_0 \in (-1,0)$. Por lo tanto, tu afirmación $z_0= -\gamma$ es que $f'(t)/f(t)$ es analítica para $|t| < \gamma$. Es plausible que haya algunas heurísticas para tal cosa dada $\frac{f(t)}{1-t} = \sum_{n \ge 2} \pi(n) t^n \approx\sum_{n \ge 2} \frac{n}{\log n} t^n$