Cómo demostrar esta desigualdad $a+b+c\ge \sqrt{3}+\frac{1}{4}c^2(a-b)^2$

Question

Dejemos que $a,b,c\ge 0,ab+bc+ca=1$ , demuestran que

(1): $$a+b+c\ge \sqrt{3}$$ (2): $$a+b+c\ge \sqrt{3}+\dfrac{1}{4}c^2(a-b)^2$$

para $(1)$ Tengo pruebas, primero veamos eso: $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$$ Por lo tanto, $$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Longrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge 3(ab+bc+ac)$$ o $$ (a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)=3$$

$$\Longrightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}$$ Pero para $(2)$ No puedo probarlo

Answer 1

Supongamos que nos dan $c$ .

Dejemos que $x=a+b$ y que $y=a-b$ .

Tenga en cuenta que $y^{2}=x^{2}+4cx-4$ utilizando la condición $ab+bc+ac=1$

Ahora nuestra desigualdad se convierte en:

$x+c \geq \sqrt3+\frac{c^{2}y^{2}}{4}$ que sustituyendo en $y^{2}=x^{2}+4cx-4$ rendimientos:

$0\geq c^{2}x^{2}+x(4c^{3}-4)-4c^{2}-4c+4(3^{1/2})$

Por lo tanto, esta es la desigualdad que debemos demostrar.

Observando desde la primera parte que,

$x\geq\sqrt3 -c$ y también que:

$(a+b)^{2} \geq (a-b)^2 \Rightarrow x^{2}\geq y^{2} \Rightarrow x^{2}\geq x^{2}+4cx-4 \Rightarrow$ $\frac{1}{c}\geq x$ .

Y así tenemos la condición:

$\frac{1}{c}\geq x\geq \sqrt3 -c$

Y demostrando que este intervalo $[\sqrt3 -c,\frac{1}{c}]$ está contenido en el intervalo de $x$ tal que $0\geq c^{2}x^{2}+x(4c^{3}-4)-4c^{2}-4c+4(3^{1/2})$ , se demostrará nuestra desigualdad. El intervalo de $x$ dentro de la cual $0\geq c^{2}x^{2}+x(4c^{3}-4)-4c^{2}-4c+4(3^{1/2})$ es cierto es entre sus raíces ,es decir:

$[\frac{2(1-c^{3})-2\sqrt{(c^{3}-1)^{2}-c^{2}(-c^{2}-c+\sqrt3)}}{c^2},\frac{2(1-c^{3})+2\sqrt{(c^{3}-1)^{2}-c^{2}(-c^{2}-c+\sqrt3)}}{c^2}]$

Ahora denota $f(c)=4c^{2}-c(4\sqrt3+1)+4$ . Su punto de inflexión está en, $c=\frac{4\sqrt3 +1}{8}$ y $f(\frac{4\sqrt3 +1}{8})=0.07..>0$ Por lo tanto $f(c)$ es positivo.

Ahora,

$4c^{2}-c(4\sqrt3+1)+4>0 \Rightarrow 4c^{2}-4c\sqrt3>c-4 \Rightarrow 4+4c^{3}-4c^{2}\sqrt3>c^{2}-4c+4 \Rightarrow 4c^{6}-8c^{3}+4+4c^{4}+4c^{3}-4c^{2}\sqrt3>4c^{6}+4c^{4}-8c^{3}+c^{2}-4c+4 \Rightarrow 4[(c^{3}-1)^{2}-c^{2}(-c^{2}-c+\sqrt3)]>(c-2+2c^{3})^{2}>0 \Rightarrow \frac{2(1-c^{3})+2\sqrt{(c^{3}-1)^{2}-c^{2}(-c^{2}-c+\sqrt3)}}{c^2}>\frac{1}{c}$

Ahora nos queda demostrarlo:

$\sqrt3 -c\geq \frac{2(1-c^{3})-2\sqrt{(c^{3}-1)^{2}-c^{2}(-c^{2}-c+\sqrt3)}}{c^2}$

Tenga en cuenta que:

$c^{2}(3c^{4}+1) \geq 0$ por lo tanto,

$c^{6}+3c^{4}-4c^{3}-4c^{2}\sqrt{3}+4 \geq 4c^{6}-8c^{3}+4+4c^{4}+4c^{3}-4c^{2}\sqrt3 \Rightarrow 4[(c^{3}-1)^{2}-c^{2}(-c^{2}-c+\sqrt3)] \geq (c^{3}+c^{2}\sqrt3 -2)^{2} \geq 0 \Rightarrow \sqrt3 -c\geq \frac{2(1-c^{3})-2\sqrt{(c^{3}-1)^{2}-c^{2}(-c^{2}-c+\sqrt3)}}{c^2}$

Y hemos terminado.