Probar que existe tales que

Question

Deje $A$ $B$ dos matrices simétricas de $\mathbb{R}^{n \times n}$ tal que $\operatorname{tr}{A} > 0$$\operatorname{tr}B < 0$.

Cómo se puede probar que existe un vector $x \in \mathbb{R}^n$ tal que $(Ax, x) > 0$$(Bx, x) < 0$?

Dado que las matrices son real y simétrica, se puede seleccionar una base en la que $A$ es diagonal. En este caso, su seguimiento no cambia. Si $A = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$, entonces podemos notar que $$(Ax, x) = \sum\limits_{i=1}^n d_ix_i^2$$ Así, es fácil de hacer de este uno positivo por elegir apropiados $x$, dicen, $x = (1, 1, \dots, 1)^T$. Pero también es necesario para asegurarse de que $(Bx, x) < 0$. Así que la pregunta ahora es cómo elegir $x$, de modo que tanto las desigualdades de espera.

Answer 1

Para aquellos que estén interesados, no resulta ser un muy elegante solución para este problema que da una idea a este problema desde una perspectiva probabilística.

Así que, como se dijo en el post, podemos elegir una base en la que $A$ es diagonal. Deje $X$ ser un vector aleatorio: su i-ésima coordenada $X_i$ equivale a 1 con probabilidad de $\dfrac{1}{2}$ $-1$ también con probabilidad de $\dfrac{1}{2}$ (todas las coordenadas son independientes). A continuación,

$$(Ax, x) = \sum\limits_{i=1}^n d_ix_i^2 = \sum\limits_{i=1}^n d_i = \operatorname{tr}A > 0$$

Pero

$$\operatorname{\mathbb{E}}(Bx, x) = \operatorname{\mathbb{E}}\left(\sum\limits_{ij} B_{ij}x_ix_j\right) = \sum\limits_{ij} B_{ij}\operatorname{\mathbb{E}}(x_ix_j) = \sum\limits_{i} B_{ii}\operatorname{E}(x_i^2) = \operatorname{tr}(B) < 0$$

Esto significa que existe una realización de $x$ que $(Bx, x) < 0$ (si no era cierto, la expectativa sería no negativo).