EDIT: todavía estoy esperando más respuestas a esta pregunta, pero tal vez no se centra lo suficiente y como estoy seguro de cuál es el mejor camino para mejorar, voy a dejarlo como está y dejar reposar aquí por el momento.
El siguiente concepto que ha aparecido en mi trabajo y me pregunto si alguien me puede ayudar a entenderlo. Yo no soy un algebrista y esto parece como algo que uno podría ser capaz de decir algo acerca de. Véase más abajo para mi motivación para esta pregunta. Lo puse ahí porque el contexto de que no es necesario entender la pregunta. Gracias por la información ofrecida.
De fondo
La definición de un módulo a través de un anillo de $R$ es un grupo Abelian $M$ junto con un homomorphism $R \to EndM$ (el módulo de 'izquierda' o 'derecha' dependiendo de la multiplicación elegimos para el endomorfismo de anillo). Un homomorphism de $R$-módulos es un homomorphism de Abelian grupos $\varphi : M \to N$ que hace
$$\begin{array}[c]{ccccc} &&EndM&&\\ &\nearrow&&\stackrel{\circ\varphi}{\searrow}&\\ R&&&&Hom(M,N)\\ &\searrow&&\stackrel{\varphi \circ}{\nearrow}&\\ &&EndN&& \end{array}$$
el viaje, donde los mapas a la izquierda de anillo homomorphisms (la definición de los módulos) y los mapas de la derecha están dadas por la pre - y post-composición, y donde $Hom(M,N)$ es considerado simplemente un conjunto. Quiero considerar una definición diferente de homomorphism.
Pregunta
Nuestra definición de ~homomorphism serán un par de $(\phi,\varphi)$ donde $\phi$ es un endomorfismo de $R$ $\varphi$ es un homomorphism de Abelian grupos que
$$\begin{array}[c]{ccccc} R&\rightarrow&EndM&&\\ &&&\stackrel{\circ\varphi}{\searrow}&\\ \small{\phi} \downarrow&&&&Hom(M,N)\\ &&&\stackrel{\varphi \circ}{\nearrow}&\\ R&\rightarrow&EndN&& \end{array}$$
los desplazamientos.
¿Esta definición sentido, es útil, y si es así, donde puedo leer acerca de estas estructuras?
Es cierto que cualquier ~homomorphism induce un homomorphism (en el sentido usual de la palabra) de $M$ a un nuevo módulo con el anillo de acción definidas por $\phi$ e de $N$. Sin embargo, este nuevo módulo depende de $\phi$; usted no puede hacer esto para todos ~homomorphisms a la vez. Verás de mi motivación que esto no es de ninguna utilidad para mí.
También me gustaría saber los méritos de esa definición se aplica a los módulos a través de los diferentes anillos (reemplazar la parte inferior de la copia de $R$ en el diagrama de arriba con otro anillo de $S$). Algunas cosas interesantes que suceden, por ejemplo la inclusión de un espacio vectorial real en su complejización es un ~homomorphism; más en general, un complejo espacio vectorial puede tener real subespacios, en el genuino sentido de morfismos. Complejo conjugado-lineal mapas son también ~homomorphisms. Uno tiene que ser cuidadoso, porque un bijective ~homomorphism no es necesariamente un ~isomorfismo. Esto sucede en otras categorías, por ejemplo, un suave bijection no se necesita ser un diffeomorphism etc., así que no veo el problema de inmediato.
La motivación de la geometría (omitir si te gusta)
Mi motivación para una definición diferente de homomorphism proviene de la geometría. El espacio de la tangente de un (localmente irreductible) de hyper-Kähler colector puede ser considerado como una copia de la norma de representación de $Sp_n$$\mathbb{R}^{4n}$. La acción de la $Sp_n$ preserva la subalgebra $\mathbb{H} \subset End\mathbb{R}^{4n}$ pointwise (donde esta vez nos referimos lineal endomorphisms). Por lo tanto, podemos considerar el espacio de la tangente a la izquierda $\mathbb{H}$-módulo y el grupo $Sp_n$ a consistir en el módulo de homomorphisms. Consideremos ahora el espacio de la tangente de un quaternionic-Kähler colector. Esto puede ser considerado como la representación de $Sp_n \cdot Sp_1$$\mathbb{R}^{4n}$. El grupo de acción conserva el mismo subalgebra $\mathbb{H} \subset End\mathbb{R}^{4n}$, pero esta vez la inducida por la acción en este subalgebra es por $Sp_n \cdot Sp_1 \to SO_3$ (segundo factor) y esta es una irreductible de acción. De hecho, $SO_3$ es el automorphism grupo de la real álgebra $\mathbb{H}$ (y también de el anillo de $\mathbb{H}$). En esta situación no se puede considerar que el espacio de la tangente a ser un $\mathbb{H}$-módulo, sino más bien como un módulo en el sentido trenzado de arriba.
