Resultado esperado para tiradas de dados repetidas con la fijación de dados

Question

Aquí es otro rollo de dados cuestión.

Las reglas

• Empezar con n dados, y el rollo de todos ellos.
• Seleccione uno o más dados y solucionarlos, es decir, su valor no va a cambiar más.
• Re-roll de los otros dados.
• Repita hasta que todos (después de que en la mayoría de n rondas) todos los dados son fijos.

La puntuación final es la suma de los valores de todos los n dados.

Las preguntas

• ¿Cuál es el resultado esperado?
• Puede que el re-balanceo de la estrategia de ser fácilmente enunciado?
• Hay situaciones (posiblemente por un poco más grande n) donde se iba a volver a rodar un 6?

Pensamientos

Parece ser contra-intuitivo para volver a rodar un 6, pero le daría una tirada extra para todos los otros dados, así que tal vez vale la pena? O es que hay un argumento que desmienten esta hipótesis, aún sin contestar las dos primeras preguntas?

Answer 1

No es una respuesta completa, pero al menos algunas pruebas. He calculado el valor esperado de los pocos casos:

1:  3.50000 (+3.50000)
2:  8.23611 (+4.73611)
3: 13.42490 (+5.18879)
4: 18.84364 (+5.41874)
5: 24.43605 (+5.59241)
6: 30.15198 (+5.71592)
7: 35.95216 (+5.80018)
8: 41.80969 (+5.85753)
9: 47.70676 (+5.89707)

Así, por ejemplo, cuando se han rodado un 6-5-1-1, es mejor re-tirada de tres dados en lugar de mantener la 5, como el valor esperado de los tres es más de 5 más grande que el de dos dados.

El código es este código Haskell. Utiliza programación dinámica, pero para cada número de dados que pasa a través de todas las posibilidades, por lo tanto, me detuve en 9 dados:

import Numeric.Probability.Example.Dice
import Numeric.Probability.Distribution (expected)
import Control.Monad
import Data.List
import Text.Printf

probs = map prob [0..]

prob 0 = 0
prob n = expected $ do
        dice <- dice n
        let sorted = reverse $ sort dice
    return $ maximum 
        [ fromIntegral (sum (take m sorted)) +  (probs !! (n - m)) | m <- [1..n] ]

main :: IO ()
main = forM_ (zip3 [1..9] (tail probs) probs) $ \(n, e, p) ->
    printf "%d: %8.5f (+%7.5f)\n" (n::Int) (realToFrac e::Double) (realToFrac (e - p)::Double)

Parece que las diferencias se están acercando a 6 de los de abajo. Si ese es el caso, y que no se debe sobrepasar 6, entonces la respuesta a la tercera pregunta es "no".