La Riemann zeta función de $\zeta(s)$ es la suma de los recíprocos de las potencias de números naturales,
$$\zeta(s) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^s}.$$
Como está escrito, esto tiene sentido para los números complejos $s$ mientras $\text{Re } s > 1$. Para estos números, hay poco más que decir.
Pero te has preguntado acerca de un interesante número: $\zeta(1 + i)$, e $\text{Re }(1 + i) \not > 1$. Lo que está pasando ahí es un poco sutil, y un poco abusivo en términos de la notación.
Resulta que hay otra función (vamos a llamar a $Z(s)$), lo que tiene sentido para todos los números complejos $s$ a excepción de $s = 1$, y que exactamente está de acuerdo con $\zeta(s)$ al $\text{Re } s > 1$. Si usted está familiarizado con algunos de cálculo o análisis complejo, entonces usted también debe saber que la función de $Z(s)$ también es compleja diferenciable en todas partes excepto en $s = 1$. Esta es una propiedad muy especial que distingue a $Z(s)$. La teoría de la complejidad del análisis (en particular, la teoría de la "continuación analítica") da que puede haber en la mayoría de una función que se extiende $\zeta(s)$ a una región más amplia, como $Z(s)$.
En este sentido, podríamos darnos cuenta de que $Z(s)$ está determinada únicamente por $\zeta(s)$. Ya que está de acuerdo con $\zeta(s)$ todas partes $\zeta(s)$ (inicialmente) tiene sentido, incluso podría ser razonable utilizar el nombre de $\zeta(s)$ en lugar de $Z(s)$. Es decir, cuando escribo $\zeta(s)$, lo que estoy diciendo en realidad es
$$\zeta(s) = \begin{cases}
\zeta(s) & \text{if Re }s > 1 \\
Z(s) & \text{otherwise }
\end{casos}$$
Es esta función la que W|calcula cuando se pida $\zeta(1 + i)$.
A pesar de lo que he escrito es verdad (y más importante), que no responde a un aspecto de su pregunta
¿Qué es el cálculo?
He mencionado no existe esta función $Z(s)$, o más bien que es posible dar significativa de los valores de a $\zeta(s)$ todos los $s \neq 1$. Pero ¿cómo? Dicho de otra forma, yo estás preguntando ¿qué es la analítica, la continuación de la de Riemann zeta función?
La continuación es único, pero los pasos para llegar allí no están. Te voy a dar un muy breve, incompleta prueba de que describe una forma para calcular el $\zeta(1+i)$.
Empezamos por considerar $\displaystyle h(s) = \sum_{n \geq 1} \frac{2}{(2n)^s}$. La realización de algunos cambios,
$$\begin{align}
h(s) &= \sum_{n \geq 1} \frac{2}{(2n)^s} \\
&= \frac{1}{2^{s - 1}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^s} \\
&= \frac{1}{2^{s - 1}} \zeta(s)
\end{align}$$
Vamos a restar este de la función zeta. Por un lado,
$$ \zeta(s) - h(s) = \zeta(s)(1 - \frac{1}{2^{s-1}}).$$
Por otro lado,
$$ \begin{align}\zeta(s) - h(s) &= \sum_{n \geq 1} \left( \frac{1}{n^s} - \frac{2}{(2n)^s} \right) \\
&= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^s},
\end{align}$$
y esta última serie tiene sentido para $\text{Re } s > 0$. (Si usted no ha visto en la alternancia de la serie antes, esto podría no ser obvio. Pero la idea es que el signo de los cambios de cancelar una gran parte del crecimiento, tanto que se converge para una región más grande).
En total, esto significa que
$$\zeta(s) = (1 - 2^{s - 1})^{-1} \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^s},$$
y usted sólo puede "conectar" $1+i$ aquí. [Observe que el problema al $s = 1$ es evidente aquí, como no se puede dividir por $0$.] En la práctica, es una infinita suma, para que usted tome la primera a muy diversos términos para obtener el valor de $\zeta(1+i)$ para cualquier precisión que desee.
Para completar, también resulta que la
$$\pi^{-s/2} \zeta(s) \Gamma(\tfrac{s}{2}) = \pi^{(s-1)/2} \zeta(1-s) \Gamma(\tfrac{1-s}{2}),$$
que nos permite transformar los valores de $\zeta(s)$ $\text{Re } s > 0$ en los valores de $\text{Re } s < 1$. El $\Gamma(z)$ función aquí se llama la "función Gamma" (es una integral, una especie de generalización de un factorial) y de esta ecuación se llama la simetría funcional de la ecuación de la función zeta.
