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Ecuación de un toroide

En primer lugar, soy un novato en matemáticas, así que perdonadme si no soy todo lo riguroso que os gustaría, pero no dudéis en corregirme.

Quiero encontrar la ecuación de un toroide (me refiero al proceso, no sólo a la ecuación final que puedo encontrar en Google). Sabiendo que un toroide es el conjunto de puntos de las circunferencias que tienen todos sus centros en otra circunferencia se me ocurrió algo así:

A torus

Dejemos que $C_c$ sea el círculo "central" con un radio $R$ y y centro $P_c(a, b, c)$ . Además, deja que $M_1(x_1, y_1, z_1)$ sean todos los puntos de $C_c$ . Sea $C_a$ ser un círculo "auxiliar" (que tiene $M_1$ como centro), $r$ su radio y $M_2(x_2, y_2, z_2)$ un punto de ese círculo.

Estoy buscando todos los puntos $M_2$ para encontrar el toro. Esto es a lo que llegué:

\begin{cases} (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - R^2 = 0 \text{ (1)}\\ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 - r² = 0 \text{ (2)} \\ \end{cases}

Y aquí estoy atascado, ¿cómo puedo transformar esas ecuaciones en una forma paramétrica o en una ecuación cartesiana?

Gracias.

EDITAR :

Mi objetivo es encontrar $x_2$ y $y_2$ aquí. Así que decidí calcular $x_1$ y $y_1$ para utilizarlos en $(2)$ .

Desde $(1)$ Me sale algo así como $x_1(x_1 - 2a) = -a^2 - y_1^2 - b^2 + 2by_1 + R^2$

Pero estoy atascado aquí ya que no sé cómo "aislar" $x_1$

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Si quieres hacer algo con tu toroide $T$ por ejemplo, calcular el área, las curvaturas o las longitudes de las curvas en $T$ es mejor una parametrización que una ecuación. Dicha ecuación será una ecuación polinómica de cuarto grado $p(x,y,z)=0$ a partir del cual ni siquiera se puede decidir sin muchos cálculos que describe un toroide.

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Tienes razón. La verdad es que no necesito hacer nada con este toroide ahora mismo, hago esta pregunta sólo para aprender.

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gagneet Puntos 4565

Forma implícita

Añade dos condiciones más para expresar los planos de tus círculos. Asegúrate de que tus otras ecuaciones también son 3d. Entonces utiliza, por ejemplo resultantes para eliminar $M_1$ y obtener una única descripción implícita de ese toro.

Por ejemplo, supongamos que $D(d,e,f)$ es la dirección del eje de simetría del toro. Entonces sus condiciones pueden escribirse como

\begin{align*} \langle M_1-P_C,D\rangle &= 0 & (x_1-a)d+(y_1-b)e+(z_1-c)f &= 0 \\ \lVert M_1-P_C\rVert &= R & (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2+(z_1-c)^2 &= R^2 \\ \langle M_2-M_1, (M_1-P_C)\times D\rangle &= 0 & (x_2-x_1)((c-z_1)e-(b-y_1)f)+\cdots&=0 \\ \lVert M_2-M_1\rVert &= r & (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 &= r^2 \end{align*}

Ahora combina estas tres expresiones, y en el proceso elimina $x_1,y_1,z_1$ . Al menos en teoría. Hacer esto ingenuamente usando un cálculo resultante en sage lleva más tiempo del que estoy dispuesto a esperar ahora. Sobre todo porque Wikipedia ya tiene la ecuación de la cuádrica para una posición específica, así que todo lo que tienes que hacer es aplicar la traslación y la rotación a su fórmula. La posición por defecto se da como

$$(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2)$$

Forma paramétrica

Para la paramétrica, basta con combinar las descripciones paramétricas de dos círculos. Comience con $(r\cos\varphi,r\sin\varphi)$ luego convertirlo en 3d, moverlo a la ubicación correcta y usar $M_1$ como el centro del segundo círculo.

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Oh, tienes razón nada dice $C_a$ está orientado de la manera que yo quiero.

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No hay problema para (2) y (4). Supongo (corrígeme si me equivoco) que (1) dice que el vector "que va de $P_c$ a $M_1$ debe ser ortogonal a $\vec{D}$ (lo cual es normal ya que no quiero un toroide deformado con "ondas"). Supongo que (3) dice que $C_a$ debe estar en un plano paralelo a $D$ pero no entiendo cómo lo haces funcionar

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Si " $(M_1 - P_c) \times D$ "es el producto cruzado del vector que va de $P_c$ a $M_1$ y $\vec{D}$ entonces tiene sentido y lo entiendo. No me siento cómodo con las nociones que has utilizado. De todos modos gracias, sé que probablemente he utilizado un vocabulario equivocado, y si es así, no dude en decírmelo.

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hofmeister Puntos 127

En el espacio tridimensional, la ecuación de un círculo viene dada por dos ecuaciones: una para una esfera ( $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^{2}$ ) y uno para un avión ( $\alpha x + \beta y + \gamma z = k$ ). Entonces su primer locus tiene que ser de este tipo.

Supongamos que somos inteligentes y elegimos el plano $z=0$ y $\left( 0,0,0 \right)$ como centro de $C_{c}$ . Entonces las ecuaciones del círculo $C_{c}$ sería $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ y $z=0$ .

Entonces tu intuición sobre cómo encontrar puntos en un toroide está en la dirección correcta, pero tienes que tener cuidado. Una vez que fijas un punto en $C_{c}$ , quieres dibujar un círculo. Pero estás en un espacio tridimensional, así que tienes que imponer dos condiciones como las anteriores. Lo que has olvidado es fijar el plano "donde vive tu círculo". Supongamos que fijas $\left(x_{0},y_{0},0\right) \in C_{c}$ . Entonces el plano que hay que considerar es el perpendicular a la recta tangente a $C_{c}$ en $\left(x_{0},y_{0},0\right)$ . Desde que elegimos $C_{c}$ con buenas coordenadas, el plano será $\left(y-y_{0}\right) = -\frac{x_{0}}{y_{0}} \left(x-x_{0}\right)$ .

Ahora puedes juntar las ecuaciones para encontrar tu locus.

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Gracias. Me gustaría votar arriba pero no puedo ya que sólo tengo una reputación de 6 aquí. Intentaré aplicar tus consejos

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De nada, y nos vemos cuando tengas la reputación 15 :)

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He comprendido por qué hay que definir un plan para $C_a$ pero no entiendo como terminas con esta ecuación del plano

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ajotatxe Puntos 26274

Será mejor que uses la trigonometría.

Elige un ángulo $\theta$ para parametrizar el círculo "central". Busca las ecuaciones paramétricas del círculo si no sabes cómo.

Ahora escoge otro ángulo $\rho$ que describirá los círculos "auxiliares". Tenga en cuenta que debe describirlos en la misma dirección que el radio principal $R$ está señalando. No es tan difícil como parece.

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