En primer lugar, soy un novato en matemáticas, así que perdonadme si no soy todo lo riguroso que os gustaría, pero no dudéis en corregirme.
Quiero encontrar la ecuación de un toroide (me refiero al proceso, no sólo a la ecuación final que puedo encontrar en Google). Sabiendo que un toroide es el conjunto de puntos de las circunferencias que tienen todos sus centros en otra circunferencia se me ocurrió algo así:
Dejemos que $C_c$ sea el círculo "central" con un radio $R$ y y centro $P_c(a, b, c)$ . Además, deja que $M_1(x_1, y_1, z_1)$ sean todos los puntos de $C_c$ . Sea $C_a$ ser un círculo "auxiliar" (que tiene $M_1$ como centro), $r$ su radio y $M_2(x_2, y_2, z_2)$ un punto de ese círculo.
Estoy buscando todos los puntos $M_2$ para encontrar el toro. Esto es a lo que llegué:
\begin{cases} (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - R^2 = 0 \text{ (1)}\\ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 - r² = 0 \text{ (2)} \\ \end{cases}
Y aquí estoy atascado, ¿cómo puedo transformar esas ecuaciones en una forma paramétrica o en una ecuación cartesiana?
Gracias.
EDITAR :
Mi objetivo es encontrar $x_2$ y $y_2$ aquí. Así que decidí calcular $x_1$ y $y_1$ para utilizarlos en $(2)$ .
Desde $(1)$ Me sale algo así como $x_1(x_1 - 2a) = -a^2 - y_1^2 - b^2 + 2by_1 + R^2$
Pero estoy atascado aquí ya que no sé cómo "aislar" $x_1$
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Si quieres hacer algo con tu toroide $T$ por ejemplo, calcular el área, las curvaturas o las longitudes de las curvas en $T$ es mejor una parametrización que una ecuación. Dicha ecuación será una ecuación polinómica de cuarto grado $p(x,y,z)=0$ a partir del cual ni siquiera se puede decidir sin muchos cálculos que describe un toroide.
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Tienes razón. La verdad es que no necesito hacer nada con este toroide ahora mismo, hago esta pregunta sólo para aprender.