¿Qué cosas se pueden definir en términos de propiedades universales?

Question

Podemos definir algunos de los objetos matemáticos utilizando propiedades universales, por ejemplo, el producto tensor, el grupo libre sobre un conjunto o de la Piedra–Čech compactification.

Me pregunto acerca de cómo desarrollar mi intuición por lo que puedo ver una cosa que me puede definir a través de una característica universal cuando la veo.

Parece claro que una condición necesaria en el objeto, es que es único. Por ejemplo, para dos espacios topológicos y una función de $f: X \to Y$ no podemos definir la continuidad de $f$ en términos de propiedades universales, ya que hay muchas funciones de $X \to Y$ que son continuas. Pero, ¿es suficiente para que un objeto sea único (hasta un único isomorfismo) en orden para que sea definible por el uso de propiedades universales?

Para resumir en una pregunta: ¿qué caracteriza a los objetos que se pueden definir con propiedades universales?

Gracias.

Answer 1

Todo puede ser definido en términos de propiedades universales! Es decir, cada objeto es el objeto único, hasta un único isomorfismo, que es exactamente igual a la del objeto. Más precisamente, vamos a $x$ ser un objeto en una categoría. A continuación, $x$ es el objeto universal equipado con un isomorfismo a $x$ (a saber, la identidad). (Como Martin Brandeburgo dice, por el Yoneda lema esto es equivalente a decir que el $x$ es el universal, objeto tales que el functor que representa está equipado con un isomorfismo natural a $\text{Hom}(x, -)$, por lo que esto no es tan vacuo una declaración como parece a primera vista si en primer lugar se describen $\text{Hom}(x, -)$ alguna otra manera y, a continuación, preguntar si es representable.)

Más en serio, si quieres desarrollar tu intuición, creo que lo mejor es familiarizarse con un montón de ejemplos. Mira a tu favorito categorías y tratar de averiguar lo que los productos, co-productos, límites, colimits, etc. están en esa categoría. Mira a tu favorito functors y tratar de averiguar si tienen a la izquierda o a la derecha adjoints (equivalentemente, si son de izquierda o de derecha adjoints). Si se asignan a $\text{Set}$, averiguar si son representable y, si es así, lo que la representación de objeto. Y así sucesivamente. Poco a poco vas a ser más capaces de reconocer cuando algo es o debería ser definido universalmente.

Un ejemplo importante a tener en cuenta es el producto tensor $V \otimes W$ de dos espacios vectoriales. Este tiene una característica universal, pero no es obvio: el producto tensor no es ni el producto ni el subproducto en $\text{Vect}$. (El universal propiedad viene de una formalización de lo que significa para un mapa para ser bilineal; una manera de hacer esto proviene del tensor-hom contigüidad.)

Si ese viejo sombrero para usted, pruebe el producto tensor $A \otimes B$ de los dos no conmutativa anillos. Esto también tiene una característica universal y tampoco es obvia: el producto tensor no es ni el producto ni el subproducto en $\text{Ring}$. (Pero también hay ninguna tensor-hom contigüidad aquí!)

Answer 2

Universal de la propiedad de un objeto $X$ en una categoría es sólo un isomorfismo entre el $\hom(X,-)$ (o $\hom(-,X)$) y otro muy interesante, y más concreto functor. Desde "más concreto" no es muy preciso, esto, en esencia, dice que cada objeto $X$ tiene una característica universal, pero muy aburrida.

Así que la pregunta realmente es: ¿Cuándo interesantes propiedades universales ocurrir? Bien es al revés: Dado un functor $F$, que a menudo se codifica alguna clasificación o comparación de datos, uno se puede preguntar si es representable. El Yoneda Lema nos dice que toda representación de un functor es única hasta el isomorfismo. Pero el functor $F$ es más fundamental que la representación de objeto itsself (después de todo, no tiene que existir!).

Por ejemplo, cuando usted hace de álgebra lineal, que, naturalmente, se tropiezan con bilineal mapas de $M \times N \to T$. Te gustaría clasificar a ellos a través de homomorphisms. Es decir, se pregunta si el functor de bilineal mapas de $M \times N \to (-)$ es representable. Y, de hecho, esto es cierto, y la representación de objeto es el producto tensor $M \otimes N$. Pero muchas de las propiedades del tensor de producto son sólo consecuencias de trivial propiedades de la functor de bilineal mapas (por ejemplo, $M \otimes N \cong N \otimes M$ dice que bilineal mapas en $M \times N$ corresponden a bilineal mapas en $N \times M$ a través de un interruptor).

Por supuesto, propiedades universales son abundantes en las matemáticas puras. Sería absurdo tratar de resumir aquí, o intentar cualquier regla de la forma en que aparecen. Usted debe aprender de los ejemplos de la primera.