Conexión a la distribución normal

Question

He estado trabajando en encontrar la probabilidad de que el evento de que la suma de $n$ independiente de las variables aleatorias son menos de $s$, cuando están distribuidas de manera uniforme en $[0,1)$.

He utilizado la ley de total probabilidad para derivar la fórmula:

$P(S<s) = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\lfloor s\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(s-k)^n$

$f_S(s) = \frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor s\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(s-k)^{n-1}$

Ahora, yo no estoy muy fuerte en la probabilidad, pero yo creo que se podría expresar la misma cosa utilizando la distribución normal. O al menos aproximado. ¿Es así? En ese caso, ¿cómo podría expresarlo, y cómo suele determinar la aproximación de error?

Answer 1

Para una expresión explícita para la denisty función, consulte MathWorld: Uniforme Distribución de la Suma, por ejemplo.

EDITAR:

La función de densidad de $f_n$ de la suma de $U_1 + \cdots + U_n$ donde $U_i$ son independientes uniformes$(0,1)$ variables, se da, de acuerdo a la MathWorld enlace de arriba, por $$ f_n (x) = \frac{1}{{2(n - 1)!}}\sum\limits_{k = 0}^n {( - 1)^k {n \elegir k}(x - k)^{n - 1} {\mathop{\rm sgn}} (x - k)},\;\; 0 < x < n. $$

Aproximación Normal (configuración general). Supongamos que $X_1,X_2,\ldots$ es una secuencia de independientes e idénticamente distribuidas variables aleatorias con media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2$. Definir $S_n = \sum\nolimits_{i = 1}^n {X_i }$. Entonces, por el teorema central del límite, $$ \frac{{S_n - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }} \{\rm N}(0,1), $$ como $n \to \infty$. Esto significa que, para cualquier $x \in \mathbb{R}$, $$ {\rm P}\bigg(\frac{{S_n - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }} \le x \bigg) \a \Phi (x), $$ donde $\Phi$ denota la función de distribución de la ${\rm N}(0,1)$ distribución. Por lo tanto, $$ {\rm P}(S_n \le n\mu + \sigma \sqrt n x) \a \Phi (x). $$ Tenga en cuenta que la primera convergencia de arriba da lugar a la aproximación $$ S_n \aprox n \mu + \sigma \sqrt{n} Z, $$ donde $Z \sim {\rm N}(0,1)$.

De regreso a su pregunta específica, usted sólo tiene que sustituir la expectativa y de la varianza de un uniforme de$(0,1)$ variable aleatoria. En el contexto de la aproximación normal, tenga en cuenta también las cuatro parcelas dado en el MathWorld enlace de arriba.

Answer 2

La distribución de la suma de $n$ IID variables aleatorias uniformes en $[0,1]$ es también conocido como el Irwin-Hall de distribución o el uniforme distribución de la suma.

La aproximación normal es aproximar una distribución con una distribución normal que tiene la misma media de $(\frac{n}{2})$ y la desviación estándar $(\sqrt{\frac{n}{12}})$.

Una manera de acotar el error en una aproximación normal es el uso de la Baya-Esséen teorema que da eficaz de los límites de los errores, en una aproximación normal en términos del tercer momento central de una distribución.

$$|P(S<\frac{n}{2}+\sigma \sqrt{n} x) - \Phi(x)| \le \frac {C \rho}{\sigma^3\sqrt{n}}$$

donde $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una distribución normal estándar, $C$ puede ser llevado a ser $1/2$, $\sigma = \sqrt{\frac{1}{12}}$, y $\rho$ $3$rd momento central de $U(0,1)$, $1/32$.

Creo que los casos extremos de la Baya-Esseen estimación no se parecen mucho a la distribución uniforme, así que podría ser que usted puede obtener mejores estimaciones de la precisión de una aproximación normal.