¿Por qué todos los espacios vectoriales tienen un conjunto span?

Question

Pensé en esta pregunta, pero no estoy seguro de si mi prueba es correcta. En el libro, él puso esta pregunta como una observación de la definición de conjuntos span, así que traté de prueba esto.

Mi intento:

Supongamos que existe un espacio vectorial $V$ tal que no exista un conjunto span $S = \{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$ por lo que existe un $v_{n+1} \in V$ tal que $v_{n+1} \neq \sum_{i=1}^{i=n} v_i$ Así que $S \cup \{ v_{n+1} \}$ puede ser un conjunto span de $V$ pero puede existir $v_{n+2} \in V$ tal que $v_{n+2} \neq \sum_{i=1}^{i=n+1}, v_i$ Así que $S \cup \{ v_{n+1}, v_{n+2} \}$ puede ser un conjunto span de $V$ y podemos estar en este ciclo infinitamente. Mi duda es ¿qué asegura que no existe infinitamente muchos vectores que pueden ser abarcados por un conjunto span?

Answer 1

Tu argumento no funciona - de hecho hay espacios vectoriales que no tienen un conjunto de extensión finito (un ejemplo interesante de esto es $\mathbb{R}$ como $\mathbb{Q}$ -vectorial). Sin embargo, existe una prueba mucho más sencilla: si $V$ es un espacio vectorial, entonces $V$ es un conjunto que se extiende sobre sí mismo.

Si desea un base - es decir, un conjunto que es linealmente independiente - entonces las cosas son mucho más complicadas. De hecho, sin el axioma de elección, ¡no tienen por qué existir! Sin embargo, podemos construir una base para $V$ si se cumple el axioma de elección, utilizando el Lemma de Zorn o la inducción transfinita (en última instancia son lo mismo, sólo que empaquetados de forma diferente).