Aplicación del principio de delimitación uniforme.

Question

Deje que$(a_n)$ sea una secuencia en$\mathbb{K}$ tal que para cada$(x_n) \in c_0$ también$(a_nx_n) \in c_0$.

Derivar del principio de delimitación uniforme que$(a_n) \in l^\infty$.

Veo que la idea es encontrar una familia$\{T_i\}_{i\in I}$ de operadores lineales, delimitados en forma de puntos, y de tal manera que pueda derivar el resultado deseado de la delimitación uniforme.

Sin embargo, no puedo averiguar cómo definir a mis operadores para lograr este objetivo. ¿Alguien me puede dejar una pista?

Answer 1

Pruebe$T_n\colon c_0\to c_0$ definido por$$T_n(x)=(a_1x_1,\ldots,a_nx_n,0,0,\ldots).$ $

Answer 2

Deje $A$ ser la secuencia dada. Deje $AC$ ser la secuencia obtenida por pointwise multiplicación, dada una secuencia $C$. Claramente $A$ define lineal mapa en secuencias. Nuestra hipótesis dice precisamente que $A$ es en realidad un mapa de$c_0$$c_0$. Necesitamos una norma en $c_0$. El sup norma parece bien, así que vamos a ello. Que los operadores debemos mirar? Bueno, yo sugeriría mirar a los operadores que "cortar" la secuencia de $A$ y hacerla de cero después de un cierto punto.

EDIT: Añadir algunos detalles más, si $1_N$ es la secuencia de N unos seguidos por todos los ceros, entonces las secuencias de $A1_N$ obviamente definir una familia delimitada operador lineal en $c_0$ con el sup norma, y usted puede mostrar a $\sup_{1 \leq n \leq N} |a_i| \leq \|A1_N\|$.