Demostrar eso:

Question

Dejar $a, b, c>1$. Demuestre que:$$\frac{1}{1+\log_ab+log_bc}+\frac{1}{1+\log_bc+\log_ca}+\frac{1}{1+\log_ca+\log_ab}\leq1.

Mi intento:

Notamos que$\log_bc=x, \log_ca=y, \log_ab=z$ con$xyz=1$ y hemos reducido la desigualdad en este momento:$$2(x+y+z)\leq xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+xz^2+x^2z. ¿Alguien tiene idea de cómo va? ¡Gracias!

Encontré una continuación simple: $$2(x+y+z)\leq xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+xz^2+x^2z\iff$$$ $\iff2(x+y+z)\leq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\iff$ $$$\iff2(x+y+z)\leq (xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz\iff$$$ $\iff3\leq(x+y+z)(xy+yz+zx-2).$ $La última desigualdad sigue fácilmente usando:$$3\leq x+y+z$ $$$1=3(xyz)^{\frac{2}{3}} -2\leq xy+yz+zx-2.$ $ Estos La última desigualdad se obtiene aplicando la desigualdad AM-GM.

Answer 1

otra solución:

ya que$xyz=1$, solo demostramos $$\dfrac{1}{1+x+y}+\dfrac{1}{1+y+z}+\dfrac{1}{1+x+z}\le 1$ $ dejemos$$ x=\dfrac{a^2}{bc},y=\dfrac{b^2}{ac},z=\dfrac{c^2}{ab} así que $$\Longrightarrow \dfrac{1}{1+y+z}=\dfrac{1}{1+\dfrac{b^2}{ac}+\dfrac{c^2}{ab}}=\dfrac{abc}{abc+b^3+c^3}$ $ así que esta desigualdad solo demostramos$$ \Longleftrightarrow \dfrac{abc}{abc+a^3+c^3}+\dfrac{abc}{abc+b^3+c^3}+\dfrac{abc}{abc+a^3+b^3}\le 1 nota $$a^3+b^3\ge ab(a+b)\Longrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab(a+b+c)$$$ $\Longrightarrow \dfrac{abc}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{abc}{ab(a+b+c)}=\dfrac{c}{a+b+c}$ $para$$\sum_{cyc}\dfrac{abc}{a^3+b^3+abc}\le\sum_{cyc}\dfrac{c}{a+b+c}=1$ $

Answer 2

Siguiendo la simplificación de OP de la desigualdad:

$\displaystyle \begin{align} xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+xz^2+x^2z &= \sum\limits_{cyc} (x^2y + xy^2) \\ &=\sum\limits_{cyc} (x^{6/3}y^{3/3} + x^{3/3}y^{6/3}) \\ & \ge \sum\limits_{cyc} (x^{5/3}y^{4/3} + x^{4/3}y^{5/3}) \tag{1}\\ &=\sum\limits_{cyc} x^{5/3}(y^{4/3} + z^{4/3})\tag{2} \\ & \ge 2\sum\limits_{cyc} x^{5/3}y^{2/3}z^{2/3} \tag{3}\\ &= 2\sum\limits_{cyc} x \end{align}$

Justificación de los pasos:

$(1) \, (x^{6/3}y^{3/3} + x^{3/3}y^{6/3}) - (x^{5/3}y^{4/3} + x^{4/3}y^{5/3}) = xy(x^{1/3}+y^{1/3})(x^{1/3}-y^{1/3})^2 \ge 0$

$(2)$ Reorganizando la suma cíclica.

$(3) \, y^{4/3} + z^{4/3} \ge 2y^{2/3}z^{2/3}$ y pon $xyz = 1$.