Encontrar una fórmula explícita para$a_n$ a partir de una relación de recurrencia

Question

Tengo la siguiente relación de recurrencia.

PS

donde$$\beta ^n n(n+2)a_n = \sum_{k=0}^{n-1} \beta^k (\alpha+k+1) a_k , \quad a_0=1, \quad n \ge 1 \tag{1}$ y$\beta$ son números reales positivos.

Sé que uno puede encontrar fácilmente$\alpha$ por sustitución de respaldo. Aquí está mi pregunta

¿Es posible encontrar una fórmula explícita para$a_n$?

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Mi trabajo

Acabo de calcular los tres primeros términos para ver qué puedo adivinar. ¡Pero no se me ocurrió nada!

$$ \begin{align} n&=1, \quad a_1=\beta^{-1} \left[ \frac{\alpha + 1}{1 \times 3} \right] \\ n&=2, \quad a_2=\beta^{-2}\left[ \frac{\alpha+1}{2 \times 4} + \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)}{(1 \times 3)(2 \times 4)} \right] \\ n&=3, \quad a_3=\beta^{-3}\left[ \frac{\alpha+1}{3 \times 5}+\frac{(\alpha+1)(\alpha+2)}{(1 \times 3)(3 \times 5)}+\frac{(\alpha+1)(\alpha+3)}{(2 \times 4)(3 \times 5)}+\frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{(1 \times 3)(2 \times 4)(3 \times 5)} \right] \end {align} $$

Answer 1

Inspirado por el comentario de Achille Hui , noté que

$$ \begin{align} \beta ^n n(n+2)a_n &= \sum_{k=0}^{n-1} \beta^k (\alpha+k+1) a_k \\ \beta ^{n-1} (n-1)(n+1)a_{n-1} &= \sum_{k=0}^{n-2} \beta^k (\alpha+k+1) a_k \end {align} $$

y restando las ecuaciones anteriores conducirá a

$$ \begin{align} \beta ^n n(n+2)a_n - \beta ^{n-1} (n-1)(n+1)a_{n-1} &= \beta^{n-1}(\alpha+n)a_{n-1} \\ \beta n(n+2)a_n &= [n^2+n+(\alpha-1)] a_{n-1} \end {align} $$ y finalmente

PS

Uno puede resolver fácilmente la relación de recurrencia anterior para obtener

PS

donde$$a_n=\frac{[n-(\frac{-1+\sqrt{5-4\alpha}}{2})][n-(\frac{-1-\sqrt{5-4\alpha}}{2})]}{\beta n(n+2)}a_{n-1}$ es el símbolo de Pochhammer .