Análisis dimensional, reducciones válidas de dimensiones y su interpretación física.

Question

Así que he estado pensando sobre el análisis dimensional y he estado pensando acerca de las cantidades de los componentes que tienen efectos negativos y positivos de los exponentes en la misma expresión.

Dos ejemplos:

segundos/segundo, T T^-1, también conocido como el tiempo de deriva. Es la dimensión de la leap day, la inexactitud de los relojes (atómica o de otra manera), entre otras cosas.

metros/metro³, L L^-3, también conocida como la eficiencia de combustible, o qué tan lejos se puede ir por el volumen de combustible.

Ahora tengo algunas preguntas. Las leyes del álgebra diría que es legal para reducir T T^-1 en un "adimensional" (vamos a llegar a por qué es en citas pronto) cantidad. Lo que tiene sentido para mí, que el cambio en el tiempo con el paso del tiempo no tiene una dimensión, por sí mismo.

Por lo que también significaría que L L^-3 reduciría a L^-2, conocida también como la inversa de la zona o 1/m². Que es interesante para mí. No estoy muy seguro de cómo visualizar que, o incluso si no es una representación física. Pero Wolfram Alpha dice es cierto. Así que, ¿cómo iba yo a visualizar que y cuál es la representación física de la eficiencia del combustible se inverso de la zona? Mis conjeturas son probablemente en ninguna parte cerca de la marca, así que me abstendré.

También, hay cantidades que no son sólo "adimensional", sino, precisamente, de dimensión cero, distinta de la trivial como la de pi y phi? Ya que no puedo decir que la variación de tiempo tiene la dimensión cero, simplemente que las dos partes están todavía allí, pero en esa expresión en un sentido de "cubrir más de" unos a otros. Lo que significa que se cancelan uno al otro, para el bien de hacer el papel de ecuaciones más simples, pero son todavía parte de la representación en forma explícita.

Answer 1

El análisis Dimensional es, en definitiva, sólo una escala argumento en el disfraz. Usted puede escribir todas las ecuaciones de la física en una forma adimensional (mediante el uso de unidades naturales donde manejadores = c = G = 1), nunca introduzca ningún dimensiones cantidades y reproducir todos los resultados que son convencionalmente obtenidos por análisis dimensional. Qué hacer, entonces, es que cambies el tamaño de ciertas variables en las ecuaciones para estudiar el comportamiento limitante de la teoría de algunas cantidades se vuelven infinitamente grande o pequeño. El estándar en caso de que el límite clásico se implementa automáticamente por las dimensiones de análisis.

Pero usted es libre para cualquier estudio particular de escala límite que usted desea. E. g. si dos diferentes longitudes $L_1$ $L_2$ aparecer en una fórmula, sino $L_1$ será normalmente mucho menor que $L_2$, entonces puede ser útil para el estudio de la ampliación del límite donde $L_2$ se vuelve infinitamente más grande que la de $L_1$. En ese caso $L_1$ $L_2$ se convierten, de facto, de dimensiones incompatibles, como el hecho de que en las unidades convencionales de tiempo y de las distancias, incompatible dimensiones.

Answer 2

Voy a intentar una perspectiva diferente en comparación a Contar Ilbis'.

Desde el punto de vista del análisis dimensional, cualquier cantidad hubieran dimensiones, por ejemplo, su

la eficiencia de combustible ... metros/meter3, $L L^{-3}$, ... o qué tan lejos se puede ir por el volumen de combustible.

o sería adimensional, por ejemplo, su

la variación de tiempo ... segundos/segundo, $T T^{-1}$. Es la dimensión de la leap day, la inexactitud de los relojes

¿Por qué estas dimensiones importa es fácil de ver. Supongo que la pregunta:

1) ¿Qué sucede con su primera cantidad si el mundo decide introducir una nueva unidad de 'peter' para reemplazar el estándar de 'metro', con los dos están relacionados con como 1 pedro = $0.5937$ medidor?

Así que hay una desproporcionada cambio en el numerador y el denominador. Suponga que la eficiencia de combustible leer $X \ {\rm meters \ per\ }{\rm meter}^3$. Con este cambio de unidades, el numerador iba a cambiar por un factor de $1/0.5937$, mientras que el denominador iba a cambiar por el cubo de este factor. Así, en el pedro del sistema de unidades, la misma eficiencia de combustible leía $(0.5937)^2X$ unidades.

Ese es el destino de dimensionful cantidades en la unidad de cambio numéricos de las magnitudes de cambio. El hecho de que una cantidad es dimensionful representa que ese cambio se produzca. Ahora, el punto es que - si es o no es sensible para medir la eficiencia de combustible en las unidades de la inversa de la zona, la red exponente indica el factor de escala en virtud de un cambio de unidades. Se puede deducir que el número iba a cambiar por el factor de conversión cuadrado, sólo por la observación de que las dimensiones son de $L^{-2}$. (Este es el punto de cuenta Ilbis está tratando de hacer con su respuesta.)

Mi siguiente pregunta es:

2) ¿Qué ocurre con la segunda cantidad si el mundo decide introducir una nueva unidad "zecond' para reemplazar el estándar de 'segunda', con los dos están relacionados con 1 zecond = $0.5937$ segundo?

No pasa nada. Su "tiempo a la deriva", o "leap day" será un número, pero será adimensional número y no a escala. El argumento es, tanto el numerador y el denominador son dimensionful, pero los factores de conversión cancelar porque ambos son modificados por igual, y la cantidad neta es invariante.

Hay varios ejemplos de tales números adimensionales, o Adimensional Constantes Físicas, con la constante de estructura fina de la física atómica, siendo el ejemplo más famoso. El número es el $1/137$, obviamente, independientemente de que las unidades de uso. debido a que estos números no cambiar las dimensiones, la explicación de por qué estos números tienen los valores que toman es un problema importante. Una explicación de por qué el fundamental constantes de acoplamiento para los cuatro tipos de interacciones en la naturaleza, seguir una jerarquía de diferentes fortalezas, el más alto para los fuertes y los más débiles de la gravedad, es un abierto, problema sin resolver en la Física. La razón de estas es de importancia - que no puede ser deducido de la teoría, sólo tienen que ser medidos, y debido a que estos números son tan importantes en el dictado de la Física de la naturaleza, se convierte en crucial para saber por qué los que solo se toman estos valores y no otra cosa.