Para los números enteros $n \neq 0$ es $\sin n$ ¿irracional o trascendental?
Esto surgió de otra pregunta . Yo hipotetizaría que sí y sí, posiblemente con pruebas para la irracionalidad existente y no para la propiedad más difícil de la trascendencia.
¿Alguna idea?
Si $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ , $\sin(n)$ es trascendental (por tanto, irracional) por la Teorema de Lindemann-Weierstrass ya que $2i\sin(n)=e^{in}-e^{-in}$ .
@Jack : Creo que esta diferencia de que los trascendentales sean un trascendental merece una explicación (por ejemplo $(e+5)-(e+4)=1$ y nadie sabe si $\pi+e$ es trascendental o algebraico). Además has asumido que $e$ es trascendental que puede ser aceptado como bien conocido por supuesto. Saludos.
@Ataulfo: lo has entendido mal. No estaba afirmando que la diferencia de dos números trascendentales sea trascendental, sino que si suponemos que $\sin(n)$ es algebraico, explotando la identidad de De Moivre contradecimos el teorema de Lindemann-Weierstrass, la formulación de Baker.
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