Cociente de plano de conjunto se integra en $\mathbb R ^3$?

Question

Deje $X\subseteq \mathbb R ^2$ ser un equipo compacto subespacio del plano. Deje $A\subseteq X$ ser cerrado. Es bien sabido que el cociente $X/A$ es la métrica y separables, y por lo tanto incrusta en el espacio de Hilbert $\mathbb R^\omega$. Hace incrustar en $\mathbb R ^3$? Parece que la respuesta debe ser sí.

EDIT: La de Menger-Nöbeling teorema (1932) establece que si X es compacto métrico separable y de dimensión n, entonces se incrusta como un subespacio de un espacio Euclídeo de dimensión 2n + 1. Así que la respuesta a mi pregunta es sí si $X$ es un 1-dimensional. Pero, por supuesto, $X$ podría tener dimensión $2$...

Answer 1

La respuesta es, de hecho, sí. Debido a que este tipo de cosas es por lo general un poco más fácil de ver con espacios compactos primero voy a demostrar que si $A$ es un cerrado subconjunto de $S^n$, $S^n/A$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}^{n+1}$. (Para obtener la intuición básica detrás de la prueba, pregúntate a ti mismo lo que podría ser la manera más fácil de llevar a dos puntos en un globo inflado juntos).

Dado un conjunto cerrado no vacío $A \subset S^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$, podemos definir un función continua $d_A: \mathbb{R}^{n+1} \to [0, +\infty)$ por $d_A(x) = \inf \{ \| x - y \| \mid y \in A \}$. Claramente, a continuación, $f_A: x \mapsto d_A(x)\, x$ define un mapa continuo $S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ y es fácil comprobar que el vacío de las fibras de $f$ $A$ y el singleton en $S^n \setminus A$. Desde $f_A$ es un cerrado mapa por la compacidad de $S^n$, esto significa que hay una descomposición $f_A = i \circ q$ donde $q: S^n \to S^n/A$ es la canónica mapa y $i: S^n/A \to \mathbb{R}^{n+1}$ es una incrustación. $\square$

Ahora si $X$ es un subespacio de $S^n$ $A$ es un compacto no vacío es subconjunto de a $X$, a continuación, $A$ es cerrado en $S^n$ y tenemos $f_A = i \circ q$ anterior. El restricción $i|_{q[X]}$ es todavía una incrustación y $q|_{q^{-1}[q[X]]}^{q[X]}$ todavía un cociente de mapa. Desde $A \subset X$ tenemos $q^{-1}[q[X]] = X$, por lo tanto $q|_X^{q[X]}$ es un cociente mapa de$X$$X/A$. Por lo tanto podemos concluir que si $X$ es cualquier espacio integrado en $S^n$ $A \subset X$ es compacto, a continuación, $X/A$ es integrable en a $\mathbb{R}^{n+1}$.

Answer 2

Creo que la respuesta es no, en general. La botella de Klein es un cociente de $[0,1]^2$ pero no es integrable en a $\mathbb R ^3$.

EDIT: en Realidad, este no es un contraejemplo. Yo estaba interesado en la reducción de la totalidad del conjunto cerrado a un solo punto.