Transformada inversa de Laplace con la rama de corte

Question

Para el propósito de mi investigación sobre los caminos aleatorios necesito para calcular la transformada inversa de Laplace de $$ F(s)=\frac{\mathrm e^{-b\sqrt{s^2-1}}}{s^2-1}.$$ Miré hacia arriba en las tablas de transformadas integrales, tales como Erdélyi et al., Gradsteyn & Ryzhik, Prudnikov et al. sin ningún éxito. Así que he buscado un contorno apropiado para la Bromwich integral. Me encontré con este

$\color{green}A$ es la integral queremos calcular $$f(t)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\gamma-\mathrm i\infty}^{\gamma+\mathrm i\infty}\mathrm e^{st}\frac{\mathrm e^{-b\sqrt{s^2-1}}}{s^2-1}\mathrm ds,$$ $\color{blue}B$ $\color{blue}K$ se desvanecen cuando el radio del círculo grande se extiende hacia el infinito. Las contribuciones de $\color{brown}F$ e de $\color{brown}D$ $\color{brown}H$ se dan por simple polos y rendimiento junto con una aportación de $\sinh t$. La contribución de $\color{red}C$ $\color{red}J$ cancelar el uno al otro.

Para calcular las contribuciones de $\color{red}E$$\color{red}G$, me la $s=-\cos\theta+\mathrm i\varepsilon$$\color{red}E$$s=\cos\theta-\mathrm i \varepsilon$$\color{red}G$. Termino con la siguiente integral $$\color{red}{E+G}\to\frac1{\pi\mathrm i}\;\text{vp.}\int_0^\pi \frac{\mathrm e^{\mathrm ib\sin\theta}}{\sin\theta}\sinh(t\cos\theta)\mathrm d\theta\tag{1}$$ que no he podido reducir a un resultado más práctico.

Alguien me puede decir si estoy en el camino correcto y quizas me ayude a subir con una mejor expresión de (1) ?

Answer 1

Creo que jugó un poco con rapidez y soltura con las contribuciones sobre$E$$G$. En la consideración de la integral de contorno sobre $E$, dejo $z=e^{i \pi} x$$G$, dejo $z=e^{-i \pi} x$. Las integrales de recibo, después de tomar unos límites adecuados, es

$$e^{i \pi} \int_1^{-1} dx \frac{e^{i b \sqrt{1-x^2}}}{-(1-x^2)} e^{-x t} + e^{-i \pi} \int_{-1}^1 dx \frac{e^{-i b \sqrt{1-x^2}}}{-(1-x^2)}e^{-x t}$$

Tenga en cuenta que el $\pm i$ en el exponenciales viene de la asignación de las $\sqrt{s-1} = \sqrt{e^{\pm i \pi} (x+1)}$ a partir de la respectiva rama. El resultado es

$$-i 2 \int_{-1}^1 dx \frac{\sin{b \sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}e^{-x t}$$

Esta integral converge, aunque no he sido capaz de descansar en una forma cerrada. (Sospecho que es algo de Bessel de argumento complejo.)

De todos modos, tengo que

$$\frac1{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+ i \infty} ds \frac{e^{-b \sqrt{s^2-1}}}{s^2-1} e^{s t} = \sinh{t} + \frac1{\pi} \int_{-1}^1 dx \frac{\sin{b \sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}e^{-x t}$$

Answer 2

Tengo una copia de la G. E. Roberts y H. Kaufman "Tabla de transformadas de Laplace", de 1966.

En la página 252, Elemento 3.2.55 es un ejemplo más complejo, pero puede ser aplicable si $v = 0$.

Inversa de a $(s + (s^2 - a^2)^{1/2})^v \exp(-b\sqrt{s^2-a^2})/\sqrt{s^2 - a^2}$ es dada como:

$0$ $0 < t < b$

y $a^v ((t-b)/(t+b))^{v/2} I_v(a\sqrt{t^2-b^2})$ $t > b$

Con las normales restricciones que $b>0$, $|\operatorname{Re}(v)| < 1$, $\operatorname{Re} s > |\operatorname{Re} a|$.

$I_v$ es la función Bessel modificada de orden $v$.

Supongo que las expresiones sería válida para $v = 0$.