Producto de las raíces de un polinomio disminuido de uno

Question

Hace poco me surgió una duda y no he podido resolverla.

Si $1,\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{n-1}$ son las raíces de $X^n-1=0$ y luego encontrar el valor de $\prod{(1-\alpha_i)}$ .

Mi solución:

El producto se ampliará a $$1-\sum_{cyc}\alpha_i+\sum_{cyc}\alpha_i\alpha_{i+1}-\dots$$

Esto significa que puedo utilizar las relaciones de las raíces de un polinomio con sus coeficientes, obteniendo así esto igual a

$1+0+0+\dots+0+0\pm1$ dependiendo de si $n$ es par o impar.

Pero el libro da la respuesta como $n$ .

¿Cómo ocurre esto? Por favor, ayuda.

Answer 1

Observe que

$$\prod_{i=1}^{n-1} (X - \alpha_i) = \frac{X^n-1}{X-1} = X^{n-1} + X^{n-2} + \cdots + X + 1$$

por lo que para $X = 1$ obtenemos

$$\prod_{i=1}^{n-1} (1 - \alpha_i)= 1^{n-1} + 1^{n-2} + \cdots + 1 + 1 = n$$

También se puede utilizar su enfoque, pero tenga en cuenta que $\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}$ son raíces de $X^{n-1} + X^{n-2} + \cdots + X + 1$ y no $X^{n}-1$ porque la raíz $1$ no está.

Así que

$$\prod_{i=1}^{n-1}(1-\alpha_i) = 1-\sum_{cyc}\alpha_i+\sum_{cyc}\alpha_i\alpha_{i+1}-\cdots = 1 - (-1) + 1 - \cdots = n$$

Answer 2

El principal defecto de su argumento es que $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i$ es no la suma de las raíces del polinomio: te falta la raíz 1. Del mismo modo $\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}\alpha_i\alpha_j \neq 0.$

Una pista: dado que el $\alpha_i$ son raíces de $x^n-1$ ¿Puedes escribir un polinomio cuyas raíces sean $1-\alpha_i$ ?