Quiero demostrar que la variedad de la bandera $Fl(n;m_1,m_2) = \{ W_1 \subset W_2 \subset V | dimW_i = m_i \}$ , para $0 \le m_1 \le m_2 \le n$ donde V es un espacio vectorial n-dimensional sobre $\mathbb{C}$ y $W_1, W_2$ son subespacios vectoriales de V, está conectado. Estoy siguiendo un método similar al que hemos utilizado en las clases para otros grupos de Lie.
Ya he demostrado que $U(n)$ actúa transitoriamente sobre $Fl(n;m_1,m_2)$ y que $U(n)$ está conectado. Me pregunto si lo que sigue es una prueba de que $Fl(n;m_1,m_2)$ está conectado.
$Fl(n;m_1,m_2)=U(n)/U(n)_{W_1 \subset W_2}$ ya que $U(n)$ actúa transitoriamente sobre $Fl(n;m_1,m_2)$ . Por lo tanto, ya que $U(n)$ está conectado, si podemos demostrar que $U(n)_{W_1 \subset W_2}$ está conectado entonces se deduce que $Fl(n;m_1,m_2)$ está conectado.
Considere $U(n)_{W_1 \subset W_2}=\{F\in U(n) |F(W_1)=W_1, F(W_2)=W_2 \}$ . Consiste en mapas con matrices de la forma:
A= $ \left( \begin{array}{ccc} A_{m_1,m_1} & 0 & 0 \\ 0 & B_{m_2-m_1,m_2-m_1} & 0 \\ 0 & 0 & C_{n-m_2,n-m_2} \end{array} \right)$
Donde el índice del bloque denota su tamaño. Esto se debe a que $F(W_2)$ será ortogonal a $W_1$ y serán múltiplos lineales de $e_{m_1+1},...,e_{m_2}$ y $F(W_1)$ será ortogonal a $W_2$ y serán múltiplos lineales de $e_{1},...,e_{m_1}$ , donde $e_1,...,e_n$ es la base ortonormal de $Fl(n;m_1,m_2)$ .
Ahora creo que tengo que demostrar que los bloques de la matriz están a su vez contenidos en una componente conexa de un grupo de Lie, lo que significaría que podría conectar cada uno de ellos a la matriz identidad del tamaño respectivo y así conectar cualquier matriz del subgrupo estabilizador que estoy considerando a la identidad, pero no estoy muy seguro de cómo proceder. ¿Podría alguien darme alguna pista sobre el siguiente paso?
Muchas gracias.
