¿Cómo puedo demostrar que la inversión está continuamente conectado a una reflexión?

Question

De Ex 3.1 en el TASI conferencias sobre la conformación de bootstrap: http://arxiv.org/abs/1602.07982 el problema es la inversión mapa (con Euclidiana firma) $$ I\colon x^\mu \mapsto \frac{x^\mu}{x^2} $$ y un mapa de reflexión $$ R\colon x^0\mapsto -x^0 \\ x^i\mapsto x^i $$ son `conectado". Yo creo que esto significa para mostrar que los dos mapas son homotópica $R\sim I$, lo que es válido, ya que $I$ es continua en el 1-punto compactification $\mathbb{R}^n\cup \{\infty\}$. Equivalentemente, yo podría hacer a mostrar que $R-I \sim f_c$ donde $f_c$ es una constante mapa. No creo que el compactified espacio es contráctiles (su $n$-esfera, ¿verdad? ) así que no puedo usar $f_c\sim 1$.

No sé lo suficiente de la topología para hacer un argumento de por qué un homotopy debe existir, y mi primera idea explícita de una homotopy por convexa de la combinación falla debido a una discontinuidad en el origen $$ F(x^\mu,t)=(1-t)R+tI $$

Puedo ver intuitivamente cómo esta conexión podría ser plausible. Desde la reflexión de los pliegues de la unidad de la esfera alrededor de su ecuador. De alguna manera este pliegue puede permitir que el interior de la esfera de intercambio con el exterior se produce la inversión del mapa. Pero no sé cómo hacer que esta idea precisa.

Answer 1

Recordemos que el (global) conformación del grupo está dada por

$${\rm Conf}(p,q)~\cong~O(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \},\tag{1} $$

cf. por ejemplo, este Phys.SE post. Mediante la incrustación de $\imath: \mathbb{R}^{p,q}\hookrightarrow \overline{\mathbb{R}^{p,q}}$ en la conformación compactifification $\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$, uno puede mostrar después de un breve cálculo que la inversión mapa de $I:\mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$, dado por

$$I(x)~:=~\frac{x}{\eta^{p,q}(x,x)} ,\tag{2}$$

está representado por el $O(p\!+\!1,q\!+\!1)$ matriz

$$ I~=~{\rm diag}(-1,1,1,\ldots, 1) . \tag{3}$$

En segundo lugar, la reflexión $R:\mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$ de la primera coordenada, dada por

$$ R(x)~:=~(-x^1,x^2,\ldots,x^{p+q}),\tag{4}$$

está representado por el $O(p\!+\!1,q\!+\!1)$ matriz

$$ R~=~{\rm diag}(1,-1,1,\ldots, 1) . \tag{5}$$

Por lo tanto, la composición de la $IR$ está representado por el $O(p\!+\!1,q\!+\!1)$ matriz

$$ IR~=~{\rm diag}(-1,-1,1,\ldots, 1) . \tag{6}$$

Ahora podemos reformular OP cuestión de la siguiente forma.

Pregunta: ¿Cuándo la composición de la $IR$ pertenecen a la componente conectado, ${\rm Conf}_0(p,q)$ que contiene el elemento de identidad?

Respuesta: Uno puede mostrar que esto sucede precisamente

• si $p>0$, o

• si $p=0$ $q$ es impar,

utilizando el hecho de que el indefinido ortogonal grupo $O(p\!+\!1,q\!+\!1)$ tiene cuatro componentes conectados, y métodos esbozado en el anteriormente mencionado Phys.SE post.

Ejemplo: En el 2D Euclidiana caso de $\mathbb{R}^{2,0}\cong \mathbb{C}$$p=2$$q=0$, la inversión (2) es

$$ I(z)~=~\frac{1}{\bar{z}}, \tag{7}$$

la reflexión (4) es menos compleja conjugación

$$ R(z)~=~-\bar{z},\tag{8} $$

y la composición de la $IR$ es la transformación de Möbius

$$IR(z) ~=~-\frac{1}{z},\tag{9}$$

cual es representado por la $SL(2,\mathbb{C})$ matriz

$$ \begin{pmatrix} 0 &\pm 1 \cr \mp 1 &0 \end{pmatrix}. \tag{10}$$ La transformación de Möbius (9) - (10) pertenece a la componente conectado

$${\rm Conf}_0(2,0)~\cong~ TAN^+(3,1) ~\cong~SL(2,\mathbb{C}) /\{\pm {\bf 1} \},\etiqueta{11}$$

que contiene el elemento de identidad, es decir, el restringido grupo de Lorentz.

Answer 2

Conceptualmente, la idea es que los planos y esferas son equivalentes desde el punto de conformación de la geometría. Conformación de las transformaciones del mapa {planos, esferas} a {planos, esferas}, y en el hecho de hacer este transitivamente cualquier objeto en el conjunto {planos, esferas} puede ser obtenida de cualquier otro de la conformación de la transformación.

La inversión es una reflexión en contra de una esfera, y sólo hay que conjugarla por una transformación que convierte a esta esfera en un plano, para obtener una reflexión. Esta última transformación puede ser conectado a un trivial continuamente moviendo el centro de la esfera hasta el infinito, mientras se mantiene un punto en el límite fijo.

Más precisamente, supongamos que $T_1$ mapas de la unidad de la esfera con el plano de la $x_1=const$. Entonces $$ R_1=T_1IT_{1}^{-1} $$ es una reflexión de si $I$ es el estándar de la inversión respecto de la unidad de la esfera. Si tenemos un homotopy $T_t$, $t\in[0,1]$ entre el$T_1$$T_0=\mathrm{id}$, entonces tenemos un homotopy entre el $R_1$ una reflexión y $R_0=I$ el estándar de la inversión.

Con el fin de encontrar un homotopy considerar la especial conformación de transformación, el cual es dado por $$ K(a)=IP(un)I= x_\mu\mapsto \frac{x\mu+a_\mu x^2}{1+a^2x^2+2(a\cdot x)} $$ para $P(a)$ la traducción por $a$. La idea es que la primera inversión de los mapas de la unidad de la esfera, y que podemos traducir por $a=(1,0,0,\ldots)$ a mapa el punto de $-a$ de la unidad de la esfera a la de origen, que luego será asignado hasta el infinito por la segunda inversión. Una esfera con un punto en el infinito es un avión. Es fácil ver que va a estar dada por la ecuación $x_1=1/2$ al considerar donde funciona el punto de $a$ de la esfera mapa, junto con la simetría de la construcción.

Por lo tanto, puede tomar $T_t=K(ta)$, ya que el $K(0)=\mathrm{id}$. Es algo complicado de trabajar fuera de los expresamente las fórmulas, pero el concepto debe ser claro.

Answer 3

El pensamiento de la esfera $S^n$ como el punto de compactification de $\mathbb{R}^n$, se puede considerar que la proyección estereográfica desde el plano definido por $x^0 = 0$ a la unidad de la esfera de $\{x\in \mathbb{R}^n\,:\,|x| = 1\}$. Este mapa está actualmente definida en $\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$, se toma el punto de $\infty$ hasta el polo norte de la unidad de la esfera. Por otra parte, estos dos subconjuntos son exactamente el punto fijo conjuntos de $R$$I$, respectivamente. Ambos mapas se comportan como reflexiones sobre estos conjuntos de punto fijo, como usted insinúa. El uso de la imagen geométrica de la proyección estereográfica (el mapa tira el punto en el plano a lo largo de una línea que conecta el punto a el polo norte de la unidad de la esfera hasta que primero golpea la esfera), nos damos cuenta de que continuamente se puede pasar desde el mapa de identidad para el mapa de proyección moviendo continuamente a lo largo de estas líneas. Usted debe ser capaz de escribir las correspondientes fórmulas sin demasiados problemas. Bien podemos parametrizar este proceso por $t\in [0,1]$, de modo que la imagen del avión en $t = 0$ es el plano en sí mismo y en tiempo de $t = 1$ es la unidad de la esfera. Denotar por $S_t$ la imagen de este mapa en tiempo $t$. La definición de una familia de mapas de $S^n$ a ser el reflejo a través de $S_t$ tiempo $t$ da un continuo camino de $R$ $I$en el espacio de los mapas de $S^n$ a sí mismo.

Dependiendo de las especificaciones del problema, puede que tenga que comprobar si este camino de mapas está contenida en la conformación del grupo (es decir, para cada una de las $t\in [0,1]$ si la reflexión a través de $S_t$ es de conformación).