¿Cómo probar que algo es Hausdorff.

Question

Quiero demostrar que el conjunto de los números enteros son Hausdorff.

Intento : Supongamos $a, b \in \mathbb{Z}$ donde $a \neq b$. Luego de su muy claro que si usted pone una bola abierta en torno a cada uno, ellos son disjuntas. Uno tiene que ser cuidadoso si los enteros son consecutivos. Considere la posibilidad de $3$$4$. En un caso como este, tendríamos que elegir una bola abierta suficientemente suficientemente pequeño para que no se cruzan otra abierta a la pelota.

Por lo que entiendo la idea de por qué los números enteros son Hausdorff. Me siento incómodo con mi argumento, ya que no es muy largo y parece llegar al punto un poco vagamente. Alguien tiene una buena prueba de que los lazos en mis ideas, pero es más concreto y detallado?

Muchas gracias!

Answer 1

De hecho, es así de fácil, y usted puede incluso hacer mejor. Usted incluso no tiene que tomar dos puntos de $m,n$ $\Bbb Z$ y elija respectivos radios tal que las bolas son disjuntas. También puede tomar un número $n\in\Bbb Z$, y encontrar un universal radio, que funciona para todos los otros interger. Considerar el balón $B_1(n)$. Puesto que cada otro número entero tiene una distancia de, al menos,$1$$n$, esta bola será sólo el conjunto de $B_1(n)=\{n\}$.

Ahora para $k,l\in\Bbb Z$, los distintos barrios son $$k\in\{k\},\quad l\in\{l\},\quad \{k\}\cap\{l\}=\emptyset$$

Lo que hicimos aquí es mostrar que el intergers $\Bbb Z$ tiene la topología discreta bajo la métrica $d(k,l)=|k-l|$. Y cada espacio discreto es Hausdorff, porque el singleton $\{x\}$ está abierto en la topología discreta.