El resultado esencial demostrado por Cantor de la diagonal argumento (como se aplica a los números reales) es que:
Para cualquier contables subconjunto $S \subset \mathbb R$ de los números reales, hay un número real $x \in \mathbb R$ tal que $x \notin S$.
A partir de este resultado, entonces, evidentemente, se deduce que $\mathbb R$ sí no puede ser contables, ya que de lo contrario podríamos optar $S = \mathbb R$ y derivar una contradicción.
(Aquí, "$S$ es contable" significa que existe un surjection $f$ a partir de los números naturales $\mathbb N$$S$, y, por tanto, que podemos enumerar a todos los miembros de $S$$S = \{f(1), f(2),f(3),\dotsc\}$.)
La diagonal argumento demuestra el resultado esencial citado directamente y constructibly, proporcionando un "algoritmo"1 que, dada una enumeración $f$ de una contables subconjunto $S = f(\mathbb N) \subset \mathbb R$ de los reales, se calcula un número real $x \in (\mathbb R \setminus S)$.
Como usted bien la nota, para cualquier contables subconjunto $S \subset \mathbb R$, es posible producir varios números de $x$ por la variación de los detalles de la diagonal algoritmo, tales como la base utilizada para ampliar los reales en secuencias de dígitos, o el específico de dígitos elegido para $x$, si la base es lo suficientemente alta como para permitir que múltiples opciones.
Esto realmente no debería ser sorprendente, ya que, por cualquier contables conjunto de los números reales $S$, hay infinitamente (y, de hecho, uncountably) muchos números reales que son , no en $S$, y por lo tanto podría ser elegido como $x$. Cualquier instancia de la diagonal (algoritmo con el dígito elección plenamente las normas especificadas) sólo recoge uno de esos $x$ por cada enumeración $f$, pero que es suficiente para lo que se supone que debe hacer.
(Por supuesto, siempre se puede generar más $x$s, a través de la modificación de la enumeración $f$ — por ejemplo, usted puede tomar un generada con anterioridad $x$, anteponer a la enumeración, y ejecutar el algoritmo de nuevo para obtener un nuevo número real $x_2 \ne x$ que no es también en $S$, y así sucesivamente.)
Ps. Como se mencionó en los comentarios, cuando la aplicación de la diagonal argumento de los números reales, hay ciertas razones prácticas para elegir una base superior a 2, de todos modos. El problema es que, en cualquier base $b$, ciertos números reales (en concreto, los de la forma $n / b^k$, para algunos enteros $n$$k$) tiene dos posibles base-$b$ ampliaciones: una que termina en una infinita cadena de ceros, y que termina en una infinita cadena de $(b-1)$-dígitos (por ejemplo, 9s, para en base 10).
Una forma de asegurarnos de no querer generar una alternativa de representación de un número que no se producen en la enumeración es para evitar la elección de los dígitos $(b-1)$ cuando la construcción de la base-$b$ expansión de $x$. En la base 2, sin embargo, no tenemos esa libertad: si el $i$-ésimo de la base-$b$ dígitos de $f(i)$ es 0, la diagonal algoritmo tiene que elegir un valor distinto de cero $i$-ésimo dígito $x$, pero si $b = 2$, la única opción posible es $1 = (2-1)$. Por lo tanto, para asegurarse de que la diagonal algoritmo realmente hace lo que se espera de él, que realmente debe usar la base 3 o superior.
Dicho esto, es posible modificar la diagonal algoritmo de otras maneras, para hacer que funcione en base 2. Por ejemplo, podemos elegir todos los números impares dígitos de $x$ a ser 0, y elegir los pares dígitos dígito $2i$ $x$ no es igual a dos dígitos$2i$$f(i)$. Mientras nos aseguramos también de que, por cualquier $f(i)$ que cuenta con dos en base 2 expansiones, elegir siempre la que termina en ceros, esto es suficiente para garantizar que el $x \ne f(i)$ cualquier $i \in \mathbb N$.
1) en realidad, no Es un algoritmo en el sentido estricto del término usado por los científicos de la computación, ya que requiere un número infinito de pasos para calcular exactamente $x$, pero es lo suficientemente cerca.
