Cómo variar fermión de acción en el índice libre de Clifford notación con respecto a la vuelta de la conexión?

Question

En la ref (1), se afirma que la Dirac acción (2.30) \begin{equation} S_D \sim \int ( \overline \psi \star eee D \psi + \overline {D\psi} \star eee \psi) \end{equation} se convierte en \begin{equation} \delta_\omega S_D \sim \int - \{\psi\overline \psi, \star eee\} \;\delta \omega \end{equation} donde la variación de la acción con respecto a la vuelta de la conexión de $\omega$. No entiendo por qué debemos reorganizar los términos en acción de esta manera.

Referencias

(1) A. C. Randono, 'En busca de Quantum de Sitter Espacio: la Generalización de la Kodama Estado' enlace

Answer 1

\begin{equation} D_\mu \psi^A = \partial_\mu \psi^A - \frac i 2 \omega_\mu{}^{IJ}(\mathcal J_{IJ})^A{}_B \, \psi^B\;, \end{equation} donde $\mathcal J_{IJ}\equiv - \frac i 4 [\gamma_I, \gamma_J]$. O podemos simplemente escribir \begin{eqnarray} D_\mu \psi^A &=&\partial_\mu\psi^A - \frac 1 8 \omega_\mu{}^{IJ}[\gamma_I,\gamma_J]^A{}_B\, \psi^B\;,\\ &=& \partial_\mu\psi^A - \frac 1 4 \omega_\mu{}^{IJ}(\gamma_I,\gamma_J)^A{}_B\, \psi^B\;. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \delta_\omega(D_\mu \psi^A ) &=&- \frac 1 4 \delta(\omega_\mu{}^{IJ})(\gamma_I,\gamma_J)^A{}_B\, \psi^B\;,\\ &\equiv& - \delta(\omega_\mu{}^{IJ})^A{}_B\, \psi^B\;, \end{eqnarray} también, ya que el uso de la representación real de $\gamma$'s (En esta tesis es el uso de $\{\gamma_I,\gamma_J\}=+2\eta_{IJ}$$\eta=diag(-1,1,1,1)$ ) \begin{equation} \delta_\omega(\overline{D_\mu \psi_A} ) = - \delta(\omega_\mu{}^{IJ})^B{}_A\,\overline{ \psi_B}\;. \end{equation} En la notación abreviada escribimos \begin{eqnarray} \delta_\omega \, D\psi &=& -\delta\omega \,\psi \;,\\ \delta_\omega \,\overline {D\psi} &=& - \overline {\psi}\,\delta\omega \; \end{eqnarray} Tenga en cuenta que para ver $\omega$ en Clifford base tratamos de \begin{eqnarray} \omega= \frac 1 4 \omega_{IJ}\gamma^I \gamma^J ,\; \omega \wedge \omega &=& \frac 1 {16} \omega_{IJ} \wedge \omega_{KL} \gamma^I < \gamma^J,\gamma^K> \gamma^L\;,\\ &=& \frac 1 {4} \omega_{IK} \wedge \omega^K{}_{L} \gamma^I \gamma^L\;.\\ F = \mathrm{d} \omega+ \omega \wedge \omega &=& \frac 1 4 \mathrm{d}\omega_{IJ}\gamma^I \gamma^J + \frac 1 {4} \omega_{IK} \wedge \omega^K{}_{L} \gamma^I \gamma^L\;,\\ &=&\frac 1 4 \Big[ \mathrm{d}\omega_{IJ}+ \omega_{IK} \wedge \omega^K{}_{J} \Big] \gamma^I \gamma^J \equiv \frac 1 4 F_{IJ} \gamma^I \gamma^J\;. \end{eqnarray} Que la consistencia de la a $F$ en la tesis. \begin{eqnarray} S &\sim& \int\Big( \overline \psi_A (\star e e e)^A{}_B (D\psi)^B + (\overline{D\psi})_A (\star eee)^A{}_B \psi^B \Big)\;,\\ \delta_\omega S &\sim& \int \Big( \overline \psi_A (\star e e e)^A{}_B (-\delta \omega\,\psi)^B + (-\overline{\psi}\delta \omega)_A (\star eee)^A{}_B \psi^B \Big)\;,\\ &=&\int - \overline \psi_A (\star e e e)^A{}_B \delta \omega^B{}_C\,\psi^C -\overline{\psi}_C\delta \omega^C{}_A (\star eee)^A{}_B \psi^B \;,\\ &=& \int - \psi^C \overline \psi_A (\star e e e)^A{}_B \delta \omega^B{}_C\,- (\star eee)^A{}_B \psi^B \overline{\psi}_C\delta \omega^C{}_A\;,\\ (&\equiv& \int - \psi^C \otimes \overline \psi_A (\star e e e)^A{}_B \delta \omega^B{}_C\,- (\star eee)^A{}_B \psi^B \otimes\overline{\psi}_C\delta \omega^C{}_A)\;,\\ &=& \int - \psi \overline \psi (\star e e e) \delta \omega\,- (\star eee)\psi \overline{\psi}\delta \omega\;,\\ &=& -\int \Big\{\psi \overline \psi ,(\star e e e) \Big\}\delta \omega\, \end{eqnarray}

Answer 2

\begin{equation} \delta_\omega S_D \sim \int Tr ( \overline \psi \star eee (-\delta \omega) \psi + (-\delta \omega \overline {\psi}) \star eee \psi)\\ =\int Tr ( -\overline \psi \star eee \psi - \overline {\psi} \star eee \psi)\delta \omega\\ \end{equation} Mediante el uso de $Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)$ podemos escribir $$ S_D \sim \int Tr ( - \estrella eee \psi \overline \psi \psi\overline {\psi} \estrella eee )\delta \omega\\ $$ Esto es lo que quieres.