La singularidad de Helmholtz de la descomposición?

Question

Teorema de Helmholtz estados que, dado un campo vectorial suave $\pmb{H}$, hay un campo escalar $\phi$ y un campo de vectores $\pmb{G}$ tal que $$\pmb{H}=\pmb{\nabla} \phi +\pmb{\nabla} \times \pmb{G},$$

y $$\pmb{\nabla} \cdot \pmb{G}=0.$$

Es esta descomposición es única? Es decir, dada $\pmb{H}$, son los campos $\phi$, $\pmb{G}$ la satisfacción de las ecuaciones anteriores único?

Answer 1

Con adecuadas condiciones de contorno, la descomposición es única. Sin ellos, no.

Supongamos que $(\phi,{\bf G})$ $(\phi',{\bf G}')$ son dos diferentes descomposiciones para la misma función. Entonces $$ \nabla(\phi\phi")+\nabla\times({\bf G}-{\bf G}')=0. $$ Tomar la divergencia de ambos lados para encontrar la que $$ \nabla^2(\phi\phi')=0. $$ Así que para cualquiera de los dos distintas descomposiciones, el campo escalar $\phi$ deben diferir por una función armónica $f$ (es decir, un con $\nabla^2f=0$). Por otra parte, cualquier armónico de la función de trabajo-es decir, no será una manera de elegir un ${\bf G}'$ ir junto con esto $\phi'$. Para ver esto, observe que tenemos que elegir a ${\bf G}'$ a satisfacer $$ \nabla\times({\bf G}'-{\bf G})=\nabla f. $$ El lado derecho de esta expresión es la divergencia libre (porque es $\nabla^2f$), y cualquier divergencia libre campo de vectores puede expresarse como el curl de algunos otros divergencia-free vector de campo, por lo ${\bf G'}-{\bf G}$ existe.

(Un par de notas: Este último hecho es el que nos permite definir el vector potencial para un determinado campo magnético, específicamente en el gauge de Coulomb. Para ser honesto, no recuerdo la prueba de que existe una función de ${\bf G}$ cuya curvatura es ${\bf B}$ para cualquier divergencia libre de ${\bf B}$. Yo recuerdo cómo se demuestra que, a pesar de haber llegado un ${\bf G}$, usted puede hacer que la divergencia libre: Sólo resta fuera de $\nabla q$ donde $\nabla^2q=\nabla\cdot{\bf G}$. El nuevo ${\bf G}$ tienen la misma curvatura que el anterior y será la divergencia.

Otra cosa: de que surjan complicaciones si el dominio que estamos considerando no es simplemente conexa. Digamos que es.)

Así que la respuesta es que, para hacer la descomposición singular, se tiene lo suficientemente fuerte como para imponer las condiciones de contorno para hacerlo de modo que no armónico de las funciones de existir. Para un dominio compacto sin límite (como la superficie de una esfera), no necesitas ningún tipo de condiciones de contorno: no hay constante armónico de las funciones de dichos dominios. (Slick prueba de ello: se puede demostrar que la armónica de funciones nunca han local máximos o mínimos, pero no constante de la función de un dominio debe tener-en particular, deberá tener un máximo global y un mínimo global en alguna parte.)

Para una región compacta con límite, deberá especificar $\phi$ o de la componente normal de la $\nabla\phi$ sobre el límite. Para la buena vieja espacio infinito, es necesario especificar que $\phi$ enfoque de cero (o alguna otra función dada) como se tiende a distancia infinita.

Es fácil comprobar que, sin esas condiciones de contorno, que se meten en problemas. Por ejemplo, las funciones $$ \phi=x, {\bf G}=z\hat{\bf j}. $$ Dan lugar a $$ {\bf H}=\nabla\phi+\nabla\times{\bf G}=\hat{\bf i}-\hat{\bf i}=0. $$ Así que este par puede ser añadido a cualquier Helmholtz descomposición sin cambiar el original de campo vectorial.