¿Cómo podemos integrar a $\int 1/(e^x + e^{2x}) dx$?

Question

Este es mi primer post fuera de mi teléfono, así que por favor trate de que me perdonara por los pobres formato. Estoy tratando de sacar a la antiderivada:

$$ \int \frac{1}{e^x + e^{2x}} dx.$$

Y no tengo idea de cómo hacerlo. Sólo he tomado hasta calc 3 y yo no puedo pensar en nada he aprendido que puede resolver esto, pero no hay una respuesta. No estoy tan interesado en la respuesta como soy ¿qué método se utiliza para resolver esto.

Answer 1

Sólo por diversión, aquí un enfoque que evita haciendo parcial de las fracciones en $1/(u^2+u^3)$ (y luego tener que resubstitute $u=e^x$):

$${1\over e^x+e^{2x}}={1\over e^x}-{1\over1+e^x}=e^{-x}-{(1+e^x)-e^x\over1+e^x}=e^{-x}-1+{e^x\over1+e^x}$$

Así

$$\int{1\over e^x+e^{2x}}dx=-e^{-x}-x+\ln(1+e^x)+C$$

(La sustitución de $u=e^x$ se esconde dentro de la parte que otorga a $\ln(1+e^x)$, pero es tan fácil que no necesita ser explícita.)

Answer 2

Usted está tratando de integrar $$ \int \frac{1}{e^x + e^{2x}}dx.$$ Hay muchas maneras de hacer esto, pero uno que salta a mí rápidamente se realice $u$-y la sustitución de establecer $u = e^x$, por lo que $$ \int \frac{1}{e^x + e^{2x}} dx = \int \frac{1}{e^{2x} + e^{3x}} (e^x dx) = \int \frac{1}{u^2(u + 1)} du,$$ y esta integral rápidamente que los rendimientos parciales de la fracción de descomposición.

Answer 3

Sí tan sólo multiplicar y dividir la cantidad total por $e^{x}$ y poner $t=e^{x}$, entonces la integral se convierte en $$\int \frac{1}{t^2+t^3} \ dt$$

Answer 4

Tome $u=e^x$ a continuación se obtienen $e^{-x}du=dx$ y por lo tanto $$ \int\frac{1}{e^x+e^{2x}}dx=\int\frac{1}{u^2+u^3}du $$ que usted puede hacer frente por fracciones parciales.

Answer 5

\begin{align} \int \frac{1}{e^x + e^{2x}} dx&=\int \frac{e^{-x}}{1 + e^{x}} dx\\ &=-\int \frac{du}{1 + \frac1u} \tag{By %#%#%}\\ &=-\int1-\frac{1}{1+u}du\\ &=-u+\ln(1+u)+C\\ &=-e^{-x}+\ln(1+e^{-x})+C \end{align}