Finito de la sumación de series que incluían los coeficientes binomiales

Question

Teniendo en cuenta la siguiente sumatoria de la serie: $$S_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{{n}\choose{k}}\sum_{m=0}^{k}(-1)^m\frac{k!}{(k-m)!}b^{-m},$$ donde $n$ es un entero no negativo, y $b$ es un no-cero constante.

Yo calculada manualmente y tengo $$S_1=b^{-1}, S_2=2b^{-2}, S_3=6b^{-3}.$$ Entonces me puse una hipótesis de $S_n$: $$S_n=n!\cdot b^{-n}.$$ Sin embargo, yo no podía probar si es correcto o no. Podría alguien ayudarme? Muchas gracias de verdad!

Answer 1

Cambiar el orden de la suma, para luego pasar a la suma del índice de $k$ $k-m$y, a continuación, utilizar el teorema del binomio:

\begin{align*}&\hskip-2cm\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{{n}\choose{k}}\sum_{m=0}^{k}(-1)^m\frac{k!}{(k-m)!}b^{-m}\\&= \sum_{0\le m\le k \le n}(-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!}(-1)^m\frac{k!(n-m)!}{(k-m)!(n-m)!}b^{-m}\\ &= \sum_{m=0}^{n}(-1)^mb^{-m}\frac{n!}{(n-m)!}\sum_{k=m}^{n}(-1)^k\binom{n-m}{k-m}\\ &=\sum_{m=0}^{n}b^{-m}\frac{n!}{(n-m)!}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^{k}\binom{n-m}{k}\\ &=\sum_{m=0}^{n}b^{-m}\frac{n!}{(n-m)!}(1-1)^{n-m}\\ &=\sum_{m=0}^{n}b^{-m}\frac{n!}{(n-m)!}\delta_{n,m}\\ &=n!b^{-n}.\end{align*}