Espacio compacto y Hausdorff espacio

Question

Un mapa continuo de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado. Por qué esto es cierto?

Me ayudan por favor quiero saber por qué esto es correcto.

Answer 1

Combinar los siguientes hechos:

1) Un subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.

2) Un mapa continuo siempre los mapas de espacios compactos en espacios compactos.

3) los subespacios Compactos de Hausdorff espacios están cerrados.

Answer 2

Si $f:X\to Y$ es continua y $K\subseteq X$ es compacto, a continuación, $f(K)$ es compacto.

Ahora uso que se cerró en subconjuntos compactos de conjuntos son compactos y que los subconjuntos compactos de Hausdorff espacios están cerrados.