cómo muchos puntos de $(x,y)\in P$ con coordenadas enteras es cierto que $|4x+3y|\le 1000$

Question

La parábola $P$ tiene el foco $(0,0)$ y pasa a través de los puntos de $(4,3)$$(-4,-3)$, ¿en cuántos puntos de $(x,y)\in P$ con coordenadas enteras es cierto que $|4x+3y|\le 1000$

$A:38 , B:40 C:42 D:44 E:46$

Mi idea:

tal vez esto $(x,y)$ tal $$\sqrt{x^2+y^2}=\dfrac{|3x-4y-25|}{5}$$ $$25(x^2+y^2)=9x^2+16y^2-24xy-150x+200y+625$$ $$\Longrightarrow 16x^2+9y^2+24xy+150x-200y=625$$

Entonces yo no puedo, muchas Gracias

Answer 1

$B. 40$

Usted puede solucionar $16x^2+9y^2+24xy+150x-200y-625=0$ sobre los enteros en WolframAlpha y, a continuación, utilizar la expresión paramétrica de $x$ $y$ encontrar una expresión de $4x+3y$.

La expresión que vamos a encontrar es $4x+3y=1250n+50p-25$, $n$ de ser un número y $p$ ser un entero positivo que es menos de $\frac{1250}{50}$.

A continuación, puede crear un simple archivo de excel para agotar las respuestas de$1250n+25$$1250n+1225$. Resulta que sólo al $n=0$ o $1$ son los criterios satisfecho, y en cada caso hay $20$ de las parejas. Por lo $B. 40$ es la respuesta.

Esto es tomado de AMC 12A 2014 si no estoy equivocado, por lo que la solución no debe requerir equipo.No estoy seguro acerca de cómo trabajar sin equipo, aunque. El agotamiento puede ser fácilmente hecho por la mano de modo que el único paso que requiere de un pensamiento es encontrar la expresión general de entero de soluciones. Usted puede ir para el Arte de Resolver el Problema, foro de Matemáticas Mermelada de AMC 10A/12A discusión.