Demostrar que no existe $f ∈ \mathbb{Z}$ tal que $f^2 + f +1 ≡ 0 \pmod p$.

Question

Deje $p ≡ 1 \pmod 3$ ser una de las primeras. Demostrar que no existe $f \in \mathbb{Z}$ tal que $f^2 + f +1 \equiv 0 \pmod p$.

Sé de los primeros números primos de esta forma son: $7,13,19$

Así, por ejemplo, $p=7$ tenemos $2^2+2+1\equiv0 \pmod 7$, pero este es el único ejemplo que se me ocurre.

Quizá esto tenga algo que ver con la que muestra la $f^2\equiv f\equiv1\equiv0 \pmod p$? Luego de sintetizar en una sola congruencia? O quizá esto tenga algo que ver con Hensel del lema?

Answer 1

Sugerencia: Observe $(f^2+f+1)(f-1) = f^3-1$

Answer 2

SUGERENCIA:

$f^2+f+1\equiv0\pmod p\iff (2f+1)^2\equiv-3\pmod p$ $p$ es impar

Ahora, muestran que $-3$ es un residuo cuadrático de $p$ si $p\equiv1\pmod 3$

Referencia : reciprocidad Cuadrática 1 , 2

Answer 3

Sugerencia $\, $ Si $\rm\:g\:$ orden $\rm\:3n = p\!-\!1\:$ $\rm\:f := g^n\!\ne 1,\,\ f^3\! = 1\,$ $\Rightarrow$ $\rm\,0 = f^3\!-\!1 = (f\!-\!1)(f^2\!+f+1)$