Sea $B$ sea una matriz simétrica, y $A$ una matriz invertible (o por supuesto ambas matrices cuadradas con el mismo orden). Demostrar que existe una matriz $X$ tal que $$B= AX^T + A^T X$$
SÓLO UN COMENTARIO: ¿Seguro que no te has saltado ningún supuesto adicional?
Creo que esto no es posible en general. Por ejemplo, tomemos $A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Escribir $X=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}$ su ecuación es equivalente al sistema lineal \begin{align*} x_2-x_3&=1\\ x_2-x_3&=0, \end{align*} que obviamente no tiene solución.
En general, si $A$ es simétrica, pero $A^{-1}B$ no lo es (véase el ejemplo anterior), entonces su ecuación no puede tener solución: Si $A$ es simétrico, entonces $B=AX^T+A^TX=A(X^T+X)$ y esto implica $X^T+X=A^{-1}B$ . El lado izquierdo es simétrico, pero el derecho no lo es.
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Como señala sranthrop en la respuesta siguiente, la afirmación no es válida en general. Supongo que puede haber un error tipográfico en tu pregunta: la afirmación correcta es probablemente que $B=AX^T+XA^T$ para algunos $X$ . Si este es el caso, la afirmación es bastante trivial y se mantiene sobre cualquier campo de característica $\ne2$ .
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¡Tienes razón! Debe haber una errata en los apuntes de clase que estoy leyendo... . Pero para terminar la pregunta, ¿cómo puedo resolver para $X$ en $B= AT^T + XA^T$ ? Puedo adivinar que $X=\frac{1}{2}B(A^T)^{-1}$ pero no soy capaz de escribir la prueba completa: multiplicando por $(A^T)^{-1}$ tenemos entonces $B(A^T)^{-1}=AX^T(A^T)^{-1}+X =A(A^{-1}X)^T+X$ ¡pero me quedo atascado ahí! Porque no sé que $A^{-1}X$ es simétrico ¿verdad?
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Tenga en cuenta que $AX^T+XA^T=(AX^T)+(AX^T)^T$ . Desde $B$ es simétrica, tenemos que $B=1/2B+1/2B^T$ . Así, si $AX^T=1/2B$ Ya está. De hecho, tome $X=1/2(A^{-1}B)^T=1/2 B(A^{-1})^T$ .