Terrible ecuación de $(x+x^{\ln x})^{10}=2^{10}$

Question

$$(x+x^{\ln x})^{10}=2^{10}$$ Traté de tomar el logaritmo de ambos lados. Para aplicar 10 de raíz, pero no demasiado lejos. Por favor, ayuda!

Edit: tengo el siguiente resultado, que me dice que tiene una única solución. $$x^{\ln x}=2-x$$ we take logarithm on both sides$$\ln^2{x}=\ln{(2-x)}$$ $\ln^2{x}$ is strictly increasing function (for $x>0$) and this function $\ln(2-x)$ is strictly decreasing (because is a composition of a strictly increasing one with a decreasing one). So we have only one solution $x=1$. ¿Qué está mal aquí?

Answer 1

Después de tomar el 10 de raíz en ambos lados, obtenemos: $$|x+x^{\ln{x}}|=2$$ Tenga en cuenta que desde $x \in \mathbb{R}^+$, podemos deducir que: $$x+x^{\ln{x}}=2$$ Ahora, esta ecuación tiene una solución que es obvio, en $x=1$. Sin embargo, hay otra solución para esta ecuación.

Yo no creo que exista una forma cerrada de la solución en términos de funciones elementales para $x$. Por lo tanto, se debe utilizar un método numérico. Voy a utilizar el de Newton-Raphson Método.

El proceso es el siguiente:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Elegimos un punto de partida inicial $x_0=0.2$, una estimación razonable de la solución.

Hacemos uso de las funciones:

$f(x)=x+x^{\ln x}-2$

Y encontrar su derivada:

$f'(x)=2\ln{x} \cdot x^{\ln{x}-1}+1$

Para obtener la iteración:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n+{x_n}^{\ln{x_n}}-2}{2\ln{x_n} \cdot {x_n}^{\ln{x_n}-1}+1}$$

Hacer esto te da la solución:

\begin{array}{c|c}n&x_n\\\hline0&0.2\\1&0.253997\\2&0.322907\\3&0.402142\\4&0.476180\\5&0.523933\\6&0.539434\\7&0.540775\\8&0.540784\\9&0.540784\end{array}

Como las iteraciones $n \to \infty$, $x_n \to x$, la solución de la ecuación. Por lo tanto:

$$x \approx 0.54078414712$$

Usted puede aplicar este método a una hoja de cálculo, o por más de un sofisticado software como MATLAB.