Un bijective mapa que no es un homeomorphism

Question

Deje que el mapa de $f:[0,2\pi)\to S^1; t\mapsto e^{it}$. Este mapa es claramente continua y bijective. A la inversa mapa asocia a cada punto de $z$ sobre el círculo, el argumento de $z$ modulo $2\pi$. parece como $f$ es un homeomorphism, yo sé que no, pero no veo por qué no? Es allí cualquier invariante topológico que indica que $[0,2\pi)$ $S^1$ no homeomórficos ?

Answer 1

A la inversa mapa no es continua.

Answer 2

Homeomorphisms de preservar la estructura de las topologías...es decir, el abierto de conjuntos.

Continua mapas de preservar la estructura de una manera puesto que una función de espacios topológicos es continua si y sólo si la preimagen de bloques abiertos es abierta.

Sin embargo (bijective) homeomorphisms hacer esto Y preservar la apertura de los conjuntos de la otra manera, es decir, la imagen de bloques abiertos se requiere ahora que se abra demasiado.

De todos modos, si usted sacar algunas fotos se convencerá de que el abrir los juegos no se conserva.

Answer 3

Una forma de ver por qué la inversa de la asignación no puede ser continua, es tener en cuenta que el $S^1$ es compacto, mientras que $[0,2\pi)$ no lo es.

Answer 4

Un montón de respuestas, pero también debe ser mencionado: Mirar el espacio $[0,2\pi)$ y preguntar cuál es el abrir los barrios de $0$ están en ese espacio. Son de la forma $[0,\varepsilon)$. Si cada abierto barrio de $0$ fueron para llegar en tanto que el extremo izquierdo del intervalo y también en el extremo derecho, con aspecto de $[0,\varepsilon_1)\cup (1-\varepsilon_2,1)$, $[0,2\pi)$ sería homeomórficos para el círculo.