Para responder a sus preguntas en un sentido inverso:
Sí, hay una continuación analítica similar a la de regular $\zeta$ función. Además, dispone de un sencillo polo en $z=1$, a pesar de que el residuo no es $1$ más (depende un poco en el campo de $K$, no es de extrañar).
Un poco de intuición puede ser obtenido a partir de la escritura en el caso de $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ $D$ squarefree:
$$\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a}} \frac{1}{\mathcal N\mathfrak{a}^s} = \prod_\mathfrak{p} \left(1 - \frac{1}{\mathfrak{\mathcal Np}^s}\right)^{-1},$$
donde $\mathcal N$ es la norma del operador, y donde $\mathfrak{a,p}$ indican que los ideales y el primer ideales, respectivamente. Entonces uno puede clasificar el grado de división de los números primos en $\mathbb{Q}(\sqrt D)$ basado en el símbolo de Legendre $\left( \dfrac{d}{p} \right)$ donde $d$ es el discriminante de la extensión. Resulta que
$$\zeta_K(s) = \prod_\mathfrak{p} \left(1 - \frac{1}{\mathfrak{\mathcal Np}^s}\right)^{-1} = \prod_{(\frac{d}{p}) = 1} \left(1 - \frac{1}{p^{2s}}\right)^{-1}\prod_{(\frac{d}{p}) = -1} \left(1 - \frac{1}{p^{s}}\right)^{-2}\prod_{p \mid d} \left(1 - \frac{1}{p^{s}}\right)^{-1},$$
donde $p$ es la racional prime por debajo de $\mathfrak{p}$. Esto puede ser reconocido como la misma expansión como
$$ \zeta(s) L(\chi_d, s),$$
donde
$$ L(\chi_d, s) = \sum_{n \geq 1} \frac{(\frac{d}{n})}{n^s},$$
es decir, que la $\chi_d$ es el símbolo de Legendre con $d$ en el numerador. Esto es bastante sorprendente, y tal vez debería ser pasado por - pero es la fuente de mi, al menos) la intuición sobre el tema.
Lo importante aquí es que sabemos que $L$ funciones no tiene polos en $1$ debido a la oscilación de la naturaleza de sus numeradores. Además, $L(\chi_d, 1) \neq 0$, por lo que el simple polo de la zeta de Riemann nos indica el simple polo de la Dedekind zeta función.
Ahora que (de forma heurística) sabe que la Dedekind zeta función tiene un simple polo, tomar el inverso de Mellin de transformación (o en lugar de aplicar el teorema de los Residuos con algunos de los grandes contornos) le dirá que
$$\sum_{n\leq x} a_K(n)=O(x).$$
De hecho, usted podría hacer mejor, y el valor exacto de asintótica.
Para más información, usted debe buscar en la mayoría de los libros sobre la teoría algebraica de números. Estoy bastante seguro de Neukirch comienza con esto, pero creo que incluso Rosen Introducción a la Moderna Teoría de números llega a esta por el final (dependiendo de su familiaridad con la teoría algebraica de números - estos dos libros están en los extremos opuestos del espectro). Estos libros también se incluyen los casos más complicados al $D$ no es plaza libre, o peor.
