¿Cómo podría usted demostrar que $\sqrt{14+4\sqrt{10}} - \sqrt{14-4\sqrt{10}} = 4$?

Question

Recientemente he visto un Highschool problema y me preguntaba, ¿cómo se demuestra que

$$\sqrt{14+4\sqrt{10}} - \sqrt{14-4\sqrt{10}} = 4$$

Gracias por su tiempo,

Answer 1

$$\sqrt{14+4\sqrt{10}} - \sqrt{14-4\sqrt{10}} = \sqrt{\left(\sqrt{14+4\sqrt{10}} - \sqrt{14-4\sqrt{10}}\right)^2} \\= \sqrt{14 + 4\sqrt{10} + 14 - 4\sqrt{10} - 2\sqrt{(14 + 4\sqrt{10})(14-4\sqrt{10})}} \\= \sqrt{28 - 2\sqrt{14^2 - 4^2\cdot 10}} \\= \sqrt{28 - 2\cdot \sqrt{196 - 160}} \\= \sqrt{28 - 2\sqrt{36}} \\= \sqrt{28 - 12} \\= \sqrt{16} \\= 4$$

En el anterior, se va a aplicar $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Answer 2

Como una forma alternativa de nota de que $$\eqalign{\sqrt{14+4\sqrt{10}} - \sqrt{14-4\sqrt{10}} &= \sqrt{\sqrt{10}^2+2\cdot2\sqrt{10}+2^2} - \sqrt{\sqrt{10}^2-2\cdot2\sqrt{10}+2^2}},$$ then use the identity $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$, y simplificar.

Answer 3

$$\sqrt{ 14 \pm 4 \sqrt{10}} = \sqrt{10} \pm 2 $$ desde $\sqrt{10} \pm 2>0 $$(\sqrt{10} \pm 2)^2 = 14 \pm 4 \sqrt{10} $.

Answer 4

Esto era muy fácil suma , aquí he utilizado la solución general de (a+2b^1/2)^1/2=x^1/2 +y^1/2

Answer 5

Ambos números son positivos, por lo que la igualdad es verdadera si, y sólo si, sus plazas son iguales. Elevando al cuadrado ambos lados obtenemos

$$14+4\sqrt{10}-2\sqrt{(14+4\sqrt10)(14-4\sqrt{10})}+14-4\sqrt{10} = 4^2$$

$$14-2\sqrt{(14^2-16 \cdot 10)}+14 = 16$$

$$28-12 = 16$$

$$16 = 16$$