Que definen $P$-nombres?

Question

En la lectura de Cohen "la Teoría de conjuntos y la Hipótesis continua" se me ocurrió que podría no haber sido Cohen mismo quien definió por primera vez el $P$-nombres. En su libro en la página 113 él define lo que él llama un "etiquetado" de la siguiente manera:

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Definición. Un "etiquetado" es una asignación definida en ZF, que asigna a cada ordinal $0 < \alpha < \alpha_0$, un conjunto $S_\alpha$, el "espacio de la etiqueta", y las funciones de $\varphi_\alpha$ definido en $S_\alpha$ de manera tal que los conjuntos de $S_\alpha$ son disjuntas y si $c \in S_\alpha$, $\varphi_\alpha(c)$ es una fórmula $A(x)$ a que todas sus variables vinculadas restringido a $X_\alpha$ y que pueden tener elementos de $S_\beta$ $\beta < \alpha$ aparecen como constantes. La función de $\varphi_\alpha$ debe poner $S_\alpha$ en una correspondencia con el conjunto de todas las fórmulas. El conjunto $S_0$ se define como el conjunto $\omega \cup \{a\}$ donde $a$ es una forma de símbolo. ...

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Si he entendido bien esto es Cohen en la definición de lo que más tarde se convirtió en $P$-nombres. De ahí mi pregunta: que primero se "inventó" $P$-nombres?

Answer 1

Puede que haya sido en

J. R. Shoenfield, Unramified obligando, en Actas de los Simposios en Matemática Pura, Vol. XIII, Parte I: la Teoría de conjuntos Axiomática (D. Scott, ed., 1971), pp 357-381

(aunque ciertamente estoy listo para borrar esta respuesta si alguien puede encontrar una referencia anterior).

En ella tenemos las siguientes:

Se introduce un lenguaje, llamado el forzar el lenguaje, que es adecuado para discutir $M[G]$. Los símbolos de la forzando el lenguaje son los símbolos de ZFC y los elementos de $M$. Cada elemento de a $a$ $M$ es considerado como una constante que designa el elemento $\bar{a}$$M[G]$, es decir, se $a$ es un nombre de $\bar{a}$. Si $\Phi$ es una frase de la forzando el lenguaje, $\vdash_G \Phi$ significa que $\Phi$ que es verdad en $M[G]$.

Mientras esto no expresamente el conjunto de $P$-nombres como los conocemos hoy en día, la definición de la (débil)forzando la relación relación es bastante parecida a la nuestra:

• $p \Vdash^* a \in b$ si $\exists c ( \exists q \geqq p ) ( \langle x , q \rangle \in b \;\&\; p \Vdash^* a = c )$.
• $p \Vdash^* a \neq b$ si $\exists c ( \exists q \geqq p ) ( \langle c , q \rangle \in a \;\&\; p \Vdash^* c \notin b )$ o $\exists c ( \exists q \geqq p ) ( \langle c , q \rangle \in b \;\&\; p \Vdash^* c \notin a )$

Por lo tanto claramente tenemos que los conjuntos que se $P$-los nombres en nuestro sentido actual, son los más importantes.

Incluso la construcción (que se hizo anteriormente en el papel) de la extensión genérica es esencialmente la más moderna:

Ahora supongamos que $C$ s de una noción de forzar en un modelo contable $M$ de ZFC y que $G$ $C$- genérico más de $M$. Vamos a construir una ampliación de $M$ contiene $G$.

Vamos a definir primero una estructura que ha universo $M$, pero tiene una nueva suscripción en relación $\in_G$ definido por $$a \in_G b \leftrightarrow ( \exists p \in G ) ( \langle a , p \rangle \in b ).$$ ... A continuación, utilizamos el colapso de la técnica para convertir el $\langle M , \in_G \rangle$ a un modelo transitivo. Primero nos tenga en cuenta que $$a \in_G b \rightarrow a \in \mathrm{Ra}(b)$$ y por lo tanto $$a \in_G b \rightarrow \mathrm{rk}(a) < \mathrm{rk}(b). \tag{4.2}$$ A continuación definimos $$K_G ( b ) = [ K_G ( a ) : a \in_G b ].$$ By (4.2), this is a legitimate definition by induction on $\mathrm{rk}(b)$. Finally, we define $$M[G] = [ K_G(a) : a \in M ].$$

Answer 2

Esto es menos de una respuesta por su propia cuenta, y más de una evidencia circunstancial apoyo de Arthur respuesta (así mi propia intuición), que la idea y la moderna definición de $P$-nombres es debido a Shoenfield.

Estoy mirando "Medibles cardenales y la hipótesis continua" por Solovay y Levy, que fue escrito en 1967, después de la que nunca se publicó Scott-Solovay papel ya estaba en circulación (se refieren a él en la introducción). No hay ninguna mención de los nombres, ni los unramified forzar en ningún sentido.

Sin embargo, hay una referencia a una clase abstracta de los términos a los que hay una inyección de la clase de todos los conjuntos, sería más tarde el mapa de $x\to\check x$. También se señala que de cada juego en la extensión genérica (aunque esta terminología no aparecen) tiene un término que representa.

De las varias histórico reseñas que he leído en los últimos dos horas puedo decir que fue Shoenfield que concibieron la idea de forzar con diferentes modelos de ZF uso parcial de las órdenes. Así, mientras que puede haber una pequeña posibilidad de que Scott y Solovay hizo venir para arriba con la idea de $P$-nombres como los conocemos (como Solovay fue el que observó que podemos realmente hacer obligando con parciales de los pedidos) entre 1967 a 1970, todavía me parece más razonable que Shoenfield el que iba a venir con la idea.

Aún más evidentes es que en 1970, cuando Solovay publicó su famoso "Un modelo de la teoría en la que cada conjunto de los reales es Lebesgue medible." él no hizo uso de la moderna definición de $P$-nombres (aunque parecía que la Scott-Solovay papel parece que el verano, a pesar de que no hay más referencias a este tipo de publicaciones se encuentran).

Sería una buena estimación, si es así, a la conclusión de que Shoenfield en su "Unramified forzar" surgió con la definición.