Cómo probar que si $P(X)=a_n X^n+ \cdots+a_1 X + a_0 \in \mathbb R[X]$ tiene sólo real y simple raíces, a continuación,$a_{k-1}a_{k+1} \le a_k^2$$1 \le k \le n-1$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cómo acerca de $P(X)=X^2+X+1$? Tenemos $a_0=a_1=a_2=1$, lo $a_1^2\geq a_0a_2$, pero $P(X)$ no tiene raíces reales.
Estás tratando de alguna manera de hacer una conexión con Newton Desigualdades (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_inequalities)?
EDIT: La pregunta ha sido cambiado. Así, el contraejemplo anterior no refleja el estado actual de la cuestión.
Solución a la Versión Actual:
Esta prueba no se asume que las raíces de $P(X)$ son simples. El único requisito es que las raíces son reales. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $a_n\neq 0$. Deje $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$. Por Newton Desigualdades, $$\left(\frac{(-1)^{n-k}a_k}{\binom{n}{k}a_n}\right)^2 \geq \left(\frac{(-1)^{n-k+1}a_{k-1}}{\binom{n}{k-1}a_n}\right)\left(\frac{(-1)^{n-k-1}a_{k+1}}{\binom{n}{k+1}a_n}\right)\,.$$ Por lo tanto, $$a_k^2\geq \frac{\Big(\binom{n}{k}\Big)^2}{\binom{n}{k-1}\binom{n}{k+1}}a_{k-1}a_{k+1}\,.$$ Si $a_{k-1}a_{k+1}\leq 0$, la desigualdad de $a_{k-1}a_{k+1}\leq a_k^2$ es trivial. Si $a_{k-1}a_{k+1}>0$, se observa que el $\Big(\binom{n}{k}\Big)^2> \binom{n}{k-1}\binom{n}{k+1}$, por lo que $$a_k^2\geq \frac{\Big(\binom{n}{k}\Big)^2}{\binom{n}{k-1}\binom{n}{k+1}}a_{k-1}a_{k+1}> a_{k-1}a_{k+1}\,.$$
