Basado en su comentario a Bernard, estoy bastante seguro de que esta respuesta no va a ser útil para usted, ya que usted dice que usted no está familiarizado con los ideales. Sin embargo, no tengo idea de cómo acercarse a esta pregunta sin estas nociones.
Estoy asumiendo que su definición de Bezout anillo es el mismo que el dado por Bernard en los comentarios, que un anillo de $R$ es un anillo de Bezout si su finitely generado ideales son principales. Desde $R$ es finito, $R$ es un Bezout anillo si y sólo si todos sus ideales son principales (ya que cada ideal es finito, y por lo tanto finitely generado).
La respuesta es no.
Deje $k$ ser un campo finito. $V$ de un número finito de dimensiones de espacio vectorial sobre el campo.
Definir $R=k\oplus V$ a ser el anillo con la multiplicación $(c,v)\cdot (d,w)=(cd,cw+dv)$.
El buen ideales de $R$ son los subespacios vectoriales de $V$, y el buen ideales generados por un mismo elemento son el cero y el uno-dimensiones de los subespacios de $V$. Por lo tanto si $V$ es de dos dimensiones, el ideal de $V$ no es principal.
Intentando traducir esto en más elementales del lenguaje:
Deje $\Bbb{F}_p=\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}$ para algunos de los mejores $p$.
Definir $R=\Bbb{F}_p^3$, con pointwise la adición y la multiplicación dada por $(a,b,c)(d,e,f) = (ad,ae+db,af+dc)$. A continuación, el ideal de $(0,*,*)$ (estoy usando $*$ para denotar lo que permite que el elemento de la tupla a ser cualquier cosa en el campo) no es principal, ya que el ideal generado por un solo elemento $(a,b,c)$ es $\{(0,0,0)\}$ si $a=b=c=0$o $R$ si $a\ne 0$ (desde $$(a^{-1},-a^{-2}b,-a^{-2}c)(a,b,c)=(1,0,0),$$ which is the unit of $R$), o
$$\{ (0,tb,tc) : t\in\Bbb{F}_p \},$$
cuando $a=0$, desde
$$(0,b,c)(t,x,y)=(0,tb,tc).$$
Esto significa que los elementos $e_1=(0,1,0)$ e $e_2=(0,0,1)$ no satisfacen una Bezout tipo de identidad, (aunque, para ser honesto, no es del todo lo que la identidad debe ser cuando no estamos trabajando en un dominio).