¿Existen finito anillos conmutativos con identidad que no son de Bézout anillos?

Question

Una pregunta similar se ha preguntado antes: Ejemplo de finito anillo, que no es un anillo de Bézout, pero no ha sido contestada.

También parece haber una escasez de recursos en línea con respecto a esta pregunta. Algunos finito conmutativa anillos que vienen a la mente son $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \quad\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,$$ , pero todos ellos son de Bézout anillos. Me preguntaba si esos anillos son aún posibles, y ¿qué tal un ejemplo de un anillo que podría ser.

Para ser claros, por Bézout anillo, me refiero a un ring donde la identidad de Bézout sostiene. Danke.

Answer 1

Voy a trabajar con la definición de Bézout anillo proporcionada por Bernard en los comentarios. Ya que todos los ideales de un anillo finito es manifiestamente finitely generado, esto equivale a preguntar si hay finito anillos que no son principales ideales de los anillos (es decir, los anillos en la que todo ideal es principal).

De hecho, hay muchos ejemplos de tales anillos. Aquí es una construcción: vamos a $F$ ser cualquier campo finito que te gusta, vamos a $R = F[X, Y], \mathfrak{m} = \langle X, Y\rangle$, y poner $A = R/\mathfrak{m}^{2}$. A continuación, $A$ es un anillo finito; de hecho, es una $F$-espacio vectorial de dimensión $3$, con base $\overline{1}, \overline{X}, \overline{Y}$, y así ha $|F|^{3}$ elementos. Sin embargo, el ideal de $I := \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{2}$ de $A$ no es principal. Hay un número de maneras de ver esto, pero el punto es que $I$ es $I$-torsión como una $A$-módulo, por lo que el $A$-módulo de estructura en $I$ coincide con la inducida por $A/I \cong R/\mathfrak{m} \cong F$-módulo de estructura en $I$. Claramente, $I$ es libre de rango dos como un $F$-módulo sobre las clases de $\overline{X}, \overline{Y}$, lo $I$ requiere de dos generadores como un $A$-módulo.

Por cierto, $A$ también es un anillo local con el único ideal maximal $I$, por lo que esto le da una respuesta a una de las preguntas en el (sin respuesta) vinculado pregunta en tu post.

Answer 2

Basado en su comentario a Bernard, estoy bastante seguro de que esta respuesta no va a ser útil para usted, ya que usted dice que usted no está familiarizado con los ideales. Sin embargo, no tengo idea de cómo acercarse a esta pregunta sin estas nociones.

Estoy asumiendo que su definición de Bezout anillo es el mismo que el dado por Bernard en los comentarios, que un anillo de $R$ es un anillo de Bezout si su finitely generado ideales son principales. Desde $R$ es finito, $R$ es un Bezout anillo si y sólo si todos sus ideales son principales (ya que cada ideal es finito, y por lo tanto finitely generado).

La respuesta es no.

Deje $k$ ser un campo finito. $V$ de un número finito de dimensiones de espacio vectorial sobre el campo.

Definir $R=k\oplus V$ a ser el anillo con la multiplicación $(c,v)\cdot (d,w)=(cd,cw+dv)$.

El buen ideales de $R$ son los subespacios vectoriales de $V$, y el buen ideales generados por un mismo elemento son el cero y el uno-dimensiones de los subespacios de $V$. Por lo tanto si $V$ es de dos dimensiones, el ideal de $V$ no es principal.

Intentando traducir esto en más elementales del lenguaje:

Deje $\Bbb{F}_p=\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}$ para algunos de los mejores $p$.

Definir $R=\Bbb{F}_p^3$, con pointwise la adición y la multiplicación dada por $(a,b,c)(d,e,f) = (ad,ae+db,af+dc)$. A continuación, el ideal de $(0,*,*)$ (estoy usando $*$ para denotar lo que permite que el elemento de la tupla a ser cualquier cosa en el campo) no es principal, ya que el ideal generado por un solo elemento $(a,b,c)$ es $\{(0,0,0)\}$ si $a=b=c=0$o $R$ si $a\ne 0$ (desde $$(a^{-1},-a^{-2}b,-a^{-2}c)(a,b,c)=(1,0,0),$$ which is the unit of $R$), o $$\{ (0,tb,tc) : t\in\Bbb{F}_p \},$$ cuando $a=0$, desde $$(0,b,c)(t,x,y)=(0,tb,tc).$$

Esto significa que los elementos $e_1=(0,1,0)$ e $e_2=(0,0,1)$ no satisfacen una Bezout tipo de identidad, (aunque, para ser honesto, no es del todo lo que la identidad debe ser cuando no estamos trabajando en un dominio).