¿Es esta desigualdad verdadera? $\coth x\leq x^{-1}+x$

Question

Al observar la gráfica de RHS-LHS, creo que se mantiene la siguiente desigualdad:

PS

No puedo pensar en una manera de demostrarlo en este momento, y me encantaría tener una pista y / o una confirmación de que es cierto.

Answer 1

Tenga en cuenta que $x+x^{-1}-\coth x$ tiene el derivado $\coth^2 x-x^{-2}\ge 0$ , mientras que $\lim_{x\to 0^+}x^{-1}-\coth x=\lim_{x\to 0^+}(-x/3)=0$ .

Answer 2

A partir de la expansión en serie de la función exponencial, si $x > 0$ , entonces: $$ \ frac {e ^ {2x} -1} {2}> x + x ^ 2, $$ por lo tanto: $$ \ coth x = 1 + \ frac {2} {e ^ {2x} -1} <1 + \ frac {1} {x + x ^ 2} = 1 + \ frac {1} {x} - \ frac {1} { 1 + x} = \ frac {x} {1 + x} + \ frac {1} {x} <x + \ frac {1} {x}. $$