Muestre que$\lbrace 1, \alpha^k, \alpha^{2k}, \cdots\rbrace$ span$\ell^2$ para$0<|\alpha|<1$ y$k \geq 1$

Question

Tengo problemas para demostrar que si $0<|\alpha|<1$ entonces los elementos $f_k=\lbrace 1, \alpha^k, \alpha^{2k}, \alpha^{3k}, \cdots \rbrace$ span $\ell^2$ para $k \geq 1$ . Sé que debo usar la matriz de Vandermonde y sus propiedades, pero no sé cómo proceder.

¿Me puede dar algunos consejos?

Answer 1

Para aclarar, no todos los elementos de la $\ell^2$ es la suma de un número finito de $f_k$; tomar un elemento de $\ell^2$ que no decae como $e^{-tn}$ para algunos $t$, por ejemplo. Es cierto, sin embargo, que el cerrado espacio de la $f_k$ (es decir, el cierre del espacio vectorial que generan) es $\ell^2$ sí.

Fix $x = (x_0, x_1, \dots)\in \ell^2$, y suponer sin pérdida de generalidad que cada una de las $x_i$ se encuentra en $X = [-1, 1]$. Desde $x_i \to 0$, no existe (por ejemplo, por la extensión de Tietze teorema) algunos continua $f:X \to X$ con $f(\alpha^n) = x_n$ por cada $x$. Fix $\epsilon > 0$, y elija $N$ tales que $$\sum_{n > N} |x_n|^2 < \epsilon.$$ Por el Stone-Weierstrass teorema, existe alguna polinomio $g(z) = \sum a_n z^n$ con $|g - f| < \epsilon$ a $X$. A continuación, $\xi = \sum a_k f_k\in \ell^2$ ha $$|\xi_n - x_n| = \left|\sum_k a_k \alpha^{nk} - x_n\right| = |g(\alpha^n) - x_n| < \epsilon$$ para todos los $n$. Ahora obligado el $\ell^2$-norma de $\xi - x$, utilizando el hecho de que la $(f_k)_n$ decaimiento exponencial en $n$.

Answer 2

Recordemos que un conjunto $S\subseteq \ell^2$ es denso si $({\bf c},s)=0$ para todos los $s\in S$ implica ${\bf c}=0$.

Fix $\alpha$ tal que $0<|\alpha|<1$ y dejar $$S=((1,\alpha^k,\alpha^{2k},\dots):k=1,2\dots)\subset \ell^2.$$

Deje ${\bf c}\in \ell^2$ ser tal que $({\bf c},s)=0$ para todos los $s\in S$ y definir

$$f(x) = ({\bf c},(1,x,x^2,\dots)) = \sum_{j=0}^\infty c_j x^j.$$

A continuación, $f$ es analítica en $(-1,1)$ (y, por extensión, en la unidad de la bola en el plano complejo). Puesto que, por hipótesis de $f(\alpha^k)=0$ para todos los $k=1,2,...$, e $\alpha^k \to 0$ como $k\to\infty$, se sigue de la unicidad teorema para funciones analíticas que $f$ es idéntica a cero. Por lo tanto, $c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}=0$, demostrando que la ${\bf c}=0$. Por lo tanto $S$ es densa.