Grupo fundamental de $S^2$ con ecuador se identifica $z \sim z^3$

Question

Se parte una esfera por la mitad en el ecuador y se pegan los límites con la función f: $S^1 \rightarrow S^1$ que mapea $z$ a $z^3$ . ¿Cuál es el grupo fundamental de este espacio?

El enunciado exacto de la pregunta:

Cortar una esfera $S^2$ a través de su ecuador y pégalo utilizando el mapa de fijación f: $S^1 \rightarrow S^1$ definido por $f(z) = z^3$ . ¿Cuál es el grupo fundamental de este espacio?".

Tomamos $S^1$ como el conjunto de los números complejos con norma 1.

Con el teorema de Van kampen calculo el grupo fundamental como el grupo trivial. Sin embargo, considere el camino $\gamma$ en el ecuador a partir de unos $x_0$ y en movimiento $2\pi/3$ grados alrededor del ecuador. Esta trayectoria corresponde a un bucle en el espacio de identificación. No veo cómo este camino es homotópico al camino trivial.

Answer 1

En el hemisferio norte $N$ y el hemisferio sur $S$ . Identifique $z \in \partial N$ con $z^3 \in \partial S$ . Entonces el camino $c(t) = \exp(\frac{2\pi i}{3} t), t \in [0, 1]$ en el hemisferio norte se identifica con la trayectoria $h(t) = \exp(2\pi i~t)$ en el hemisferio sur que es un bucle. De hecho, es un bucle que atraviesa el ecuador del hemisferio sur. Imagina que es una banda elástica, y que está unida a $S$ en el punto $z = 1$ pero el resto está cubierto de grasa. Ahora tome la parte de la banda de goma cerca de $z = -1$ y presionarlo hacia el sur. Se deslizará hacia abajo, pasará sobre el polo sur y finalmente se contraerá hasta el punto que has mantenido fijo en $z = 1$ . Y esa es tu homotopía.

Answer 2

Creo que te estás confundiendo porque el espacio que describes (que llamaré $X$ ) tiene en realidad dos "ecuadores" diferentes. Obsérvese que $X$ es no simplemente el cociente de $S^2$ por una relación de equivalencia en el ecuador. En su lugar, $X$ son dos hemisferios unidos donde $z$ en el ecuador de un hemisferio se identifica con $z^3$ en el ecuador del otro hemisferio.

Entonces, esto significa que una trayectoria en el primer ecuador que rodea un arco de $2\pi/3$ es un bucle, ya que sus puntos finales se identifican al pegarlo a la segunda semiesfera. No hay ninguna homotopía nula de este bucle dentro del primer hemisferio. Pero si consideramos que este bucle vive en el segundo hemisferio, no es más que un bucle ordinario que da una vuelta al ecuador. Por lo tanto, es nulo-homotópico dentro del segundo hemisferio, que en realidad es homeomórfico a un disco ordinario (a diferencia del primer hemisferio cuyo ecuador se ha pegado).

(Si en su lugar tuviera un espacio que es el cociente de $S^2$ por la relación de equivalencia $z\sim e^{2\pi i/3}z$ en el ecuador, entonces no estaría simplemente conectado y, de hecho, el bucle que recorre un tercio del camino alrededor del ecuador no sería nulohomotópico).