Esta es una buena pregunta, y no tiene sentido, incluso cuando $V$ es reducible, y las definiciones son equivalentes (a través de una algebraicamente cerrado de campo). Todo el mundo merece ver este hecho cuidadosamente al menos una vez. Es importante. La prueba en la wiki en el enlace que citas es descuidado, e incluso si se fija, se haría uso de la irreductibilidad (para que abra los conjuntos densos), sin advertencia, la cual es pedagógicamente inmoral como lo que me refiero. Shafarevich hace algo similar juego de manos en su libro. Me tomó un poco de perdonarlo por eso. Poner manos a la obra aquí no debe ser evitado.
Con eso dicho, traté de ser muy cuidadoso, y yo creo que he sido moralmente cuidado, pero mirar hacia fuera para los errores tipográficos.
Si una función regular, $\phi$ a $D(f)$ es definido por $g/h$ en un barrio de la $U\subset D(f)$ de $x \in D(f)$, siempre hay algo de $u\in \Gamma(V)$ con $x\in D(u)\subset U$ (estos $D(\cdot)$ abrir conjuntos de formar una base para la topología de Zariski) y, a continuación, $\phi$ se define por $(ug)/(uh)$ a $D(uh) \subset D(f)$. Así que siempre podemos elegir una expresión para $\phi$ como una función racional en $x$ que es válido en el conjunto abierto definido por el nonvanishing de su denominador.
Así que ahora supongamos que tenemos una función regular, $\phi$ a $D(f)$ y las funciones de $g_i,h_i \in \Gamma(V)$, $i\in I$ algunos de indexación, con $\cup_{i\in I} D(h_i) = D(f)$ tal que $\phi = g_i/h_i$ a $D(h_i)$.
Primero vamos a mostrar sólo necesitamos un número finito de $i$. (Como se señaló en los comentarios, puede utilizar Noetherianness aquí, pero yo no.) Tenemos $V(f) = \cap_{i\in I} V(h_i) = V(h_i : i\in I)$. Por el Nullstellensatz, $f$ es en el radical del ideal de la $(h_i : i\in I)$, es decir, $f^m = v_1h_{i_1} +\dots+ v_nh_{i_n}$ para algunos $i_1,\dots,i_n\in I$, $v_1,\dots,v_n \in \Gamma(V)$, e $m\in \mathbb{N}$. Permite escribir $h_j := h_{i_j}$. Ahora $V(h_1,\dots,h_n) \subset V(f)$, lo $D(h_1)\cup\dots\cup D(h_n) = D(f)$, ya que todos los $D(h_i) \subset D(f)$.
Bueno, ahora tenemos una función regular, $\phi$ a $D(f)$ y las funciones de $g_i,h_i \in \Gamma(V)$, $1\le i \le n$, $\cup_{i=1}^n D(h_i) = D(f)$ tal que $\phi = g_i/h_i$ a $D(h_i)$. Ahora, para cada una de las $i$, tenemos $D(h_i) \subset D(f)$, por lo que $V(f) \subset V(h_i)$, y así por el Nullstellensatz, hay algunos $q_i \in \Gamma(V)$ e $m_i \in \mathbb{N}$ (vamos a seguir adelante y asumir, sin pérdida de generalidad que $m_i\ge 2$ para más adelante), de modo que $q_if = h_i^{m_i}$. Observe que para $x\in D(f)$, $q_i(x) = 0$ si y sólo si $h_i(x) = 0$. Ahora como lo hicimos anteriormente (aquí realmente necesitamos el Nullstellensatz), ya que $V(h_1,\dots,h_n) = V(h_1^{m_1},\dots,h_n^{m_n}) \subset V(f)$, $p_1,\dots,p_n \in \Gamma(V)$ , de modo que $p_1h_1^{m_1} + \dots + p_nh_n^{m_n} = f^{\ell+1}$ para algunos $\ell \ge 0$. Ahora sustituyendo, tenemos
$$p_1q_1 f + \dots + p_nq_n f = f^{\ell+1}$$
así que
$$p_1q_1 + \dots + p_nq_n = f^{\ell}$$
en $D(f)$. (Para tener una idea de lo que va a suceder, ver mi nota en la parte inferior antes de continuar.)
Ahora me reclama que
$$\phi = \sum_{j=1}^n \frac{p_jg_jh_j^{m_j-1}}{f^{\ell+1}}$$
en todos los de $D(f)$.
Vamos a ver en cualquier punto de $x\in D(f)$. Sin pérdida de generalidad (reordenando), asumimos $x\in D(h_j)$ para $j=1,\dots,k$ e $x\notin D(h_j)$ para $j=k+1,\dots,n$. Para (cada paso aquí utiliza algunas cosas de arriba, así que esté alerta)
$$\left(\sum_{j=1}^n \frac{p_jg_jh_j^{m_j-1}}{f^{\ell+1}}\right)(x) = \frac{1}{f^\ell(x)}\sum_{j=1}^k \frac{p_j(x)g_j(x)h_j^{m_j-1}(x)}{f(x)} $$
$$= \frac{1}{f^\ell(x)}\sum_{j=1}^k \frac{p_j(x)q_j(x)g_j(x)h_j^{m_j-1}(x)}{q_j(x)f(x)} = \frac{1}{f^\ell(x)}\sum_{j=1}^k \frac{p_j(x)q_j(x)g_j(x)h_j^{m_j-1}(x)}{h_j^{m_j}(x)}$$
$$= \frac{1}{f^\ell(x)}\sum_{j=1}^k \frac{p_j(x)q_j(x)g_j(x)}{h_j(x)} = \frac{1}{f^\ell(x)}\sum_{j=1}^k p_j(x)q_j(x) \phi(x)$$
$$=\frac{\phi(x)}{f^\ell(x)}\left(\sum_{i=1}^n p_i(x)q_i(x)\right) = \phi(x).$$
Y ese es el final. Si usted lee la cadena de ecuaciones atrás, se puede ver que la motivación para el reclamado forma de $\phi$.
Nota: Si alguna vez has aprendido cualquier topología diferencial, esto $p_1q_1+\dots+p_nq_n$ cosa es básicamente una partición de la unidad con respecto a la descomposición $D(h_1)\cup\dots\cup D(h_n)$ de $D(f)$, lo que le permite suma de las funciones que se definen únicamente a nivel local. Para ser un poco más precisos, es una partición de a$f^\ell$, pero eso es tan buena, ya que nos permite dividir por $f^\ell$ a $D(f)$.
