Necesidad de encontrar todos los subgrupos de $(U(\mathbb{Z}_{15}),\cdot)$ . Así que $U(\mathbb{Z}_{15})$ contiene números enteros $x < 15$ para que $x$ y $15$ son coprimos. Así que $$ U(\mathbb{Z}_{15}) = \{\overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{7},\overline{8},\overline{11},\overline{13},\overline{14}\} $$ Sé que $\mathbb{Z}_{15}$ no es cíclico. Ahora mismo he utilizado cada elemento del conjunto para generar un subgrupo y he obtenido lo siguiente $7$ ahora mismo: $$ \{\overline{1}\},\{\overline{1},\overline{4}\},\{\overline{1},\overline{11}\},\{\overline{1},\overline{14}\},\{\overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{8}\},\{\overline{1},\overline{4},\overline{7},\overline{13}\},U(\mathbb{Z}_{15}) $$ ¿Cómo sé que ya los he encontrado todos? Por ejemplo $\{\overline{1},\overline{4},\overline{14},\overline{11}\}$ parece ser un buen candidato también pero no puedo encontrarlo usando la técnica de generación.
Respuestas
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El orden del grupo es $8$ por lo que los subgrupos propios no triviales sólo pueden tener órdenes $2$ y $4$ .
Has acertado con los subgrupos cíclicos; ahora puede haber de no cíclicos de orden $4$ . Un grupo no cíclico de orden $4$ es el producto de dos grupos (cíclicos) de orden $2$ y contiene tres elementos de orden $2$ generados por dos de ellos cualesquiera. Así, tomemos dos elementos $2$ y considerar el subgrupo que generan: $$ \langle\overline{4},\overline{11}\rangle= \{\overline{1},\overline{4},\overline{11}, \overline{4}\cdot\overline{11}=\overline{14}\} $$ (no es necesario ningún otro producto, como puede comprobar fácilmente).
Esto llena la lista de elementos de orden $2$ así que has terminado.
Sugerencia : Este grupo es isomorfo a $G={\mathbf Z}_4\times \mathbf Z_2$ en el que el funcionamiento del grupo es mucho más fácil de entender. Encuentra todos los subgrupos cíclicos no triviales de $G$ . A continuación, encuentre todos los subgrupos generados por dos de $G$ . Entonces todos los subgrupos generados por tres de $G$ . Continúe hasta que deje de obtener nuevos grupos (o, para un enfoque un poco más inteligente, hasta que deje de obtener nuevos grupos de índice no primo en $G$ ).
